让我们继续分析我们过去在代数方面的经验。一旦我们掌握了数的加法和乘法的计算问题，我们就可以将这些二元运算应用于问题的解决。问题通常会引出涉及某个未知数 $x$ 的方程，需要确定 $x$。最简单的方程是线性方程，对于加法运算，形式为 $a+x=b$，对于乘法运算，形式为 $ax=b$。加法线性方程总有数值解，乘法线性方程也总有数值解，前提是 $a \neq 0$。事实上，需要解诸如 $5+x=2$ 这样的加法线性方程是引入负数的一个很好的动机。同样，诸如 $2x=3$ 这样的方程的解表明了对有理数的需要。
这段话是群这个概念的引子。作者通过回顾我们最熟悉的代数知识——解方程，来引导我们思考其背后的普适规律，从而自然地过渡到群的定义。
1. 起点：熟悉的代数经验
作者首先指出，我们在学习数学的早期，就接触了加法和乘法这两种最基本的二元运算。“二元运算”就是指取两个数，通过某种规则（比如加、减、乘、除）得到一个新的数。
2. 核心任务：解方程
掌握了基本运算后，我们开始用它们来解决问题，最常见的就是解方程。方程就是一个包含未知数（通常用 $x$ 表示）的等式。我们的目标就是找出这个 $x$ 到底是什么。
3. 最简单的方程：线性方程
最简单的方程类型是线性方程。
* 对于加法，它的形式是 $a+x=b$。比如，我心里想一个数，加上 5 等于 8，这个数是多少？这就是一个加法线性方程 $5+x=8$。
* 对于乘法，它的形式是 $ax=b$。比如，一个数的 2 倍是 10，这个数是多少？这就是一个乘法线性方程 $2x=10$。
4. 解的存在性
作者提到，对于我们熟悉的数（整数、有理数、实数等）：
* 加法线性方程 $a+x=b$ 总是有解。我们可以通过“移项”得到 $x = b-a$。
* 乘法线性方程 $ax=b$ 几乎总是有解，唯一的例外是当 $a=0$ 时（并且 $b \neq 0$）。只要 $a$ 不是 0，我们就能得到解 $x = b/a$。
5. 数系的扩展
解方程的需求，实际上是推动我们扩展数系的重要动力。
* 为了解像 $5+x=2$ 这样的方程，我们发现仅仅有正整数和 0 是不够的。解是 $x = 2-5 = -3$。为了让这类方程有解，我们必须引入负数的概念，从而将自然数扩展到整数集 $\mathbb{Z}$。
* 同样，为了解像 $2x=3$ 这样的方程，我们发现在整数范围内也找不到解。解是 $x=3/2$。为了让这类方程有解，我们必须引入分数的概念，从而将整数集扩展到有理数集 $\mathbb{Q}$。
* 示例 1 (加法线性方程):
方程：$7 + x = 4$
我们想在整数集 $\mathbb{Z}$ 中找到一个数 $x$，使得它与 7 相加等于 4。
直观地，我们需要一个“比 0 还小”的数。这个数就是 $-3$。
$x = 4 - 7 = -3$。
这个解的存在，依赖于负整数的存在。
* 示例 2 (乘法线性方程):
方程：$5x = 12$
我们想在有理数集 $\mathbb{Q}$ 中找到一个数 $x$，使得它与 5 相乘等于 12。
在整数集 $\mathbb{Z}$ 中，不存在这样的整数。
我们需要一个分数（有理数）来表示这个解。
$x = 12/5$ 或 $2.4$。
这个解的存在，依赖于分数（有理数）的存在。
* 示例 3 (乘法线性方程无解):
方程：$0x = 5$
我们想找一个数 $x$，使得它与 0 相乘等于 5。这是不可能的，因为任何数乘以 0 都等于 0，不可能是 5。这就是原文中“前提是 $a \neq 0$”的含义。
* $a=0$ 的情况： 在解乘法方程 $ax=b$ 时，必须特别注意 $a=0$ 的情况。
* 如果 $a=0$ 且 $b \neq 0$，方程变为 $0 \cdot x = b$，此时方程无解。
* 如果 $a=0$ 且 $b=0$，方程变为 $0 \cdot x = 0$，此时任何数 $x$ 都是解，方程有无穷多个解。
* 运算的封闭性： 我们在哪个数的集合里解方程至关重要。例如，在自然数集 $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ...\}$ 中，方程 $5+x=2$ 是无解的，因为解 $-3$ 不属于自然数集。我们必须将解的范围扩大到整数集 $\mathbb{Z}$。这个性质叫做封闭性，即运算结果必须仍然在原来的集合中。
本段通过回顾解线性方程的经验，引出了几个关键思想：
1. 二元运算（如加法和乘法）是代数的基本工具。
2. 解方程是代数的核心任务之一。
3. 为了保证线性方程有解，我们需要不断扩展我们的数系，引入了负数和分数。
4. 这暗示着，一个“良好”的代数系统，应该能保证其中的线性方程是可解的。
本段的目的是为群的定义做铺垫。作者没有直接抛出抽象的定义，而是从读者最熟悉的具体例子（解方程）入手，激发读者思考：为了让方程 $a * x = b$（这里 $*$ 是一种广义的运算）总是有解，我们需要这个运算和它所在的数集满足哪些基本性质？通过接下来的分析，这些性质将被提炼出来，并最终构成群的公理。
你可以把一个代数系统想象成一个“工具箱”。这个工具箱里有一堆“物件”（数），还有一些“工具”（二元运算）。我们想用这些工具和物件来解决“拼图游戏”（解方程）。
* 加法线性方程 $a+x=b$ 就像是：我有一块长条积木 $a$，我想找到另一块积木 $x$，把它们拼在一起后，总长度恰好等于目标积木 $b$ 的长度。
* 负数就像是“反向”或“缩短”的积木。为了从一个较长的积木 $a$ 得到一个较短的积木 $b$，我需要一块能“吃掉”一部分长度的积木 $x$（即负数）。
* 乘法线性方程 $ax=b$ 就像是：我有一块积木 $x$，我把它复制 $a$ 次并排拼接，得到的总长度是 $b$。现在已知 $a$ 和 $b$，我想知道原始积木 $x$ 的长度。
* 分数就像是“分割”操作。如果 $b$ 的长度不是 $a$ 的整数倍，我就需要把单位长度进行分割，才能精确度量出 $x$ 的长度。
想象一条无限延伸的数轴。
* 解方程 $5+x=2$：你站在数轴上“5”的位置，你的目标是走到“2”的位置。你需要向左移动 3 个单位。所以，你需要加上一个“-3”。这个“-3”就是方程的解。负数的引入使得你可以在数轴上向两个方向自由移动。
* 解方程 $2x=3$：你有一把尺子，但上面只有整数刻度（0, 1, 2, 3...）。现在有一个物体的长度，你用尺子量了 2 次，正好等于 3 个单位长度。这个物体的原始长度是多少？在只有整数刻度的尺子上你无法直接读出。你必须在 1 和 2 之间增加新的刻度，比如 1.1, 1.2, ..., 1.5。然后你发现，这个物体的长度正好是 1.5。有理数的引入，就像是加密了你尺子上的刻度，让度量变得更精确。
我们希望能够解涉及我们的二元运算的线性方程。然而，这并非对每个二元运算都可能。例如，对于例 2.14 中的运算 $*$，方程 $a * x=a$ 在 $S=\{a, b, c\}$ 中没有解。让我们从熟悉的代数中抽象出加法的那些性质，这些性质使我们能够在 $\mathbb{Z}$ 中解方程 $5+x=2$。我们不能提及减法，因为我们关注的是用单一二元运算（在这种情况下是加法）来表述的解。解的步骤如下：
严格来说，我们这里并没有证明 -3 是一个解，而是证明了它是唯一可能的解。要证明 -3 是一个解，只需计算 $5+(-3)$。对于有理数中的方程 $2x=3$ 和乘法运算，也可以进行类似的分析：
这一段的核心思想是：将我们习以为常的解方程步骤“慢放”，并分析每一步依赖了什么基本规则。作者的目标是找出保证线性方程可解的“最小规则集”。
1. 并非所有运算都能解方程
作者首先强调，不是随便一个二元运算都能保证线性方程有解。他提到了一个反例（例 2.14，我们这里没有具体内容，但可以理解为一个奇特的运算规则），在那个例子里，即使是 $a * x = a$ 这样看起来很简单的方程也可能无解。这说明，我们熟悉的加法和乘法具有一些特殊的、优良的性质。
2. 剖析加法方程的解法
作者以解 $5+x=2$ 为例，把我们通常“一步到位”的移项操作，分解成了最最基本的操作步骤。这里的关键是，他要求只使用加法这一种运算来完成，而不能用我们习惯的“减法”。
* 第一步：等式两边加上-5。 为什么要加-5？因为我们的目标是把等号左边的“5”消掉，只剩下 $x$。为了消掉“5”，我们需要一个数，它和“5”相加能得到一个特殊的数（即0）。这个数就是-5。这一步依赖于 “逆元”的存在 (5的逆元是-5)。
* 第二步：使用结合律。 我们把 -5 + (5 + x) 变成 (-5 + 5) + x。这一步看起来理所当然，但非常关键。它允许我们重新组合运算的顺序，先把-5和5结合起来。这依赖于 加法的结合律。
* 第三步：计算-5+5。 结果是0。这一步依赖于 逆元的定义。
* 第四步：利用0的性质。 0 + x 就等于 x。这个0是一个很特殊的数，任何数加上它都保持不变。这依赖于 “单位元”的存在 (加法的单位元是0)。
* 第五步：得出解。 最终我们得到 $x = -5+2 = -3$。
3. 剖析乘法方程的解法
同样地，作者剖析了方程 $2x=3$ 的解法，并且禁止使用“除法”。
* 第一步：等式两边乘以 1/2。 为什么要乘 1/2？因为目标是消掉等号左边的“2”。我们需要一个数，它和“2”相乘能得到一个特殊的数（即1）。这个数就是 1/2。这依赖于 “逆元”的存在 (2的乘法逆元是1/2)。
第二步：使用结合律。 把 (1/2 2) * x 重新组合。这依赖于 乘法的结合律。
第三步：计算 1/2 2。 结果是1。这依赖于 逆元的定义。
第四步：利用1的性质。 1 x 就等于 x。这个1也是一个特殊的数，任何数乘以它都保持不变。这依赖于 “单位元”的存在 (乘法的单位元是1)。
* 第五步：得出解。 最终得到 $x = (1/2) * 3 = 3/2$。
4. 证明解的唯一性与存在性
作者特别指出，这个推导过程实际上证明的是“如果解存在，那么它必然是这个形式”，即解的唯一性。要严格证明这个数确实是解（存在性），还需要把它代回原方程验证一下。例如，对于 $5+x=2$，我们推导出 $x$ 必须是-3。然后我们验证 $5+(-3)=2$，等式成立，所以-3确实是一个解。
* $a+x=b$: 一般形式的加法线性方程。
* $-a$: 元素 $a$ 的加法逆元。
* $0$: 加法单位元。
* 结合律: $(a+b)+c = a+(b+c)$。
* $ax=b$: 一般形式的乘法线性方程。
* $a^{-1}$ 或 $1/a$: 元素 $a$ 的乘法逆元。
* $1$: 乘法单位元。
* 结合律: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。
* 示例 1 (另一个加法方程): 解方程 $-4 + x = -9$
1. 给定: $-4 + x = -9$
2. 两边加上-4的逆元, 也就是4: $4 + (-4 + x) = 4 + (-9)$
3. 结合律: $(4 + (-4)) + x = 4 - 9$
4. 逆元性质: $0 + x = -5$
5. 单位元性质: $x = -5$
6. 验证: $-4 + (-5) = -9$。正确。
* 示例 2 (另一个乘法方程): 解方程 $(3/5)x = 6$
1. 给定: $(3/5)x = 6$
2. 两边乘以3/5的逆元, 也就是5/3: $(5/3) \cdot ((3/5)x) = (5/3) \cdot 6$
3. 结合律: $((5/3) \cdot (3/5))x = (5 \cdot 6) / 3$
4. 逆元性质: $1 \cdot x = 30 / 3$
5. 单位元性质: $x = 10$
6. 验证: $(3/5) \cdot 10 = 30/5 = 6$。正确。
不能随意假定交换律：在这些推导中，我们只用到了结合律，并没有用到交换律（即 $a+b = b+a$）。例如，我们是把 $-5$ 加在 $(5+x)$ 的左边。对于熟悉的加法和乘法，这无所谓。但对于更一般的二元运算，a x 不一定等于 x * a。因此，从哪边进行操作（左边还是右边）至关重要。
* 逆元必须存在: 整个流程的前提是，对于我们要消掉的那个数（比如5或2），它的逆元（-5或1/2）必须存在于我们考虑的数集里。如果不存在，这个方法就失效了。例如，在正整数集 $\{1, 2, 3, ...\}$ 中，方程 $5+x=2$ 无法用此方法求解，因为 5 的加法逆元 -5 不在这个集合里。
* 唯一性 vs. 存在性: 必须分清这两个概念。推导过程展示的是，如果解存在，它只能是 $a' * b$ (其中 $a'$ 是 $a$ 的逆元)。这保证了解的唯一性。但要证明解存在，最稳妥的方法是把这个推导出来的结果代回原方程进行检验。
通过对两个具体方程解法的详细分解，本段提炼出了能够系统性地解开线性方程所需要的三个核心要素：
1. 结合律：允许我们重新安排运算次序，这是“消元”操作的关键。
2. 单位元的存在：需要一个特殊的元素（如0或1），它与其他元素运算时不改变那个元素。这是我们“消元”后，让未知数 $x$ “裸露”出来的基础。
3. 逆元的存在：对于每一个元素（乘法中非零元素），都需要存在一个与之对应的“抵消”元素，它们运算的结果是单位元。这是“消元”操作的直接工具。
本段的目的是将解方程这一具体行为，升华为对抽象性质的提炼。它是一座桥梁，连接着我们已知的、具体的算术世界，和即将要学习的、抽象的群论世界。通过明确指出解方程的每一步都依赖于一个特定的代数性质（结合律、单位元、逆元），作者为下一段正式给出群的定义做好了最充分的准备。读者至此应该能预感到，一个满足这三条性质的代数系统，就是一个功能强大的系统，至少在解线性方程方面是可靠的。
想象你在玩一个解谜游戏，目标是把一个被“锁住”的宝箱 $x$ 解放出来。
* 方程 $a * x = b$ 表示宝箱 $x$ 被一个锁 $a$ 锁住了，现在呈现出状态 $b$。
* 逆元 $a'$ 就是对应于锁 $a$ 的那把“钥匙”。
* 单位元 $e$ 代表“无锁状态”或者说“初始状态”。
* 解方程的过程 $a' * (a * x) = a' * b$ 就是：你用钥匙 $a'$ 去开锁 $a$。
* 结合律 $(a' * a) * x = a' * b$ 意味着，你可以先把钥匙插进锁里转动，让它们先发生作用。
* $e * x = a' * b$ 表示，钥匙和锁匹配后，它们一起“消失”了（或者说变成了一个不起作用的“无锁状态” $e$）。
* $x = a' * b$ 最终，宝箱 $x$ 被解放出来了，它现在处于一个新的状态 $a' * b$。
这个模型强调了逆元是“抵消”操作，单位元是“不起作用”的理想状态，而结合律是保证我们可以先处理“锁和钥匙”这对组合的规则。
想象你在进行一个化学实验。
* 方程 $a * x = b$ 中，$a$ 和 $x$ 是两种化学物质，$b$ 是它们反应后生成的化合物。现在你知道反应物 $a$ 和生成物 $b$，想推断出未知的反应物 $x$ 是什么。
* 逆元 $a'$ 就像是一种特殊的催化剂或反应物，它可以专门与物质 $a$ 反应，并且反应产物是一种非常稳定且不影响其他物质的“惰性物质” $e$ （比如水或者氮气）。
* 解方程的过程就是：在生成物 $b$ 中加入物质 $a'$。因为 $b$ 本身是 $a$ 和 $x$ 的化合物，所以这相当于在 $(a \text{ 和 } x \text{ 的混合物})$ 中加入 $a'$。
* 结合律保证了，新加入的 $a'$ 会优先找到原来的 $a$ 进行反应，生成惰性物质 $e$。
* 最终，容器里只剩下了惰性物质 $e$ 和我们想找的未知物质 $x$。因为 $e$ 是惰性的，所以我们成功地把 $x$ “分离”了出来。
这个想象把代数运算类比为化学反应，有助于理解逆元“中和”或“抵消”的作用。
现在我们可以看出，为了能够模仿这个过程来解方程 $a * x=b$（其中 $a, b \in S$），集合 $S$ 和其上的二元运算 $*$ 需要具备哪些性质。这个过程的基础是 $S$ 中存在一个元素 $e$，使得对于所有 $x \in S$，都有 $e * x=x$。对于我们的加法示例，0 扮演了 $e$ 的角色；对于乘法示例，1 扮演了 $e$ 的角色。然后我们需要 $S$ 中存在一个元素 $a^{\prime}$，使得 $a^{\prime} * a=e$。对于我们的加法示例，当 $a=5$ 时，-5 扮演了 $a^{\prime}$ 的角色；对于乘法示例，当 $a=2$ 时，$\frac{1}{2}$ 扮演了 $a^{\prime}$ 的角色。最后我们需要结合律。其余的只是计算。类似的分析表明，为了解方程 $x * a=b$（记住 $a * x$ 不一定等于 $x * a$），我们希望 $S$ 中存在一个元素 $e$，使得对于所有 $x \in S$，都有 $x * e=x$，并且 $S$ 中存在一个 $a^{\prime}$，使得 $a * a^{\prime}=e$。如果 $*$ 在 $S$ 上具备所有这些性质，我们就可以确信能够解线性方程。因此，我们需要一个结合二元结构 $\langle S, *\rangle$，其中有一个单位元 $e$，使得对于每个 $a \in S$，存在一个 $a^{\prime} \in S$，使得 $a * a^{\prime}=a^{\prime} * a=e$。这正是群的概念，我们现在将其定义。
这一段是群定义前的最后总结和预告。它把上一段通过具体例子分析出的性质，用更抽象、更普适的语言重新组织起来，并明确指出这些性质集合在一起就构成了群。
1. 目标： 我们想要为一个一般的二元运算 和一个集合 S 找到一套规则，以保证我们总能解开形式为 a x = b 的线性方程。
2. 性质一：单位元的存在
回顾解方程的过程，我们需要一个特殊的元素 e，它和任何元素 x 运算后，x 都保持不变。在解 a x = b 时，这个性质体现在 e x = x 这一步，它让 x 从 e * x 中“解放”出来。
* 在加法中，e 就是 0，因为 0 + x = x。
在乘法中，e 就是 1，因为 1 x = x。
这个 e 被称为单位元 (identity element)。
3. 性质二：逆元的存在
为了消掉方程 a x = b 左边的 a，我们需要一个元素 a'，它能和 a 结合，变成那个特殊的单位元 e。即 a' a = e。
* 在加法中，对于 a=5，它的逆元 a' 是 -5，因为 -5 + 5 = 0。
在乘法中，对于 a=2，它的逆元 a' 是 1/2，因为 (1/2) 2 = 1。
这个 a' 被称为 a 的逆元 (inverse element)。
4. 性质三：结合律
为了让 a' 能够“跨过” x 先和 a 作用，我们需要运算满足结合律。即 a' (a x) 可以变成 (a' a) x。没有这一条，a' 就只能和整个 (a*x) 作用，而无法精确地“抵消”掉 a。
5. 左右对称性
作者敏锐地指出了一个之前没有深入探讨的问题：运算 不一定是可交换的（即 a x 可能不等于 x * a）。
我们之前分析的是如何解 a x = b（未知数 x 在右边）。这个过程需要一个左逆元 a' 使得 a' a = e，以及一个左单位元 e 使得 e x = x。
作者补充道，如果我们要解 x a = b（未知数 x 在左边），通过类似的分析（在等式右边乘以 a 的右逆元），我们会需要一个右单位元 e 使得 x e = x，以及一个右逆元 a' 使得 a a' = e。
6. 综合所有性质
为了让两种形式的线性方程 (a x = b 和 x a = b) 都有解，最保险的做法就是要求这些性质“双边”都成立。于是，我们得到了一个完整的需求清单：
有一个二元运算 在集合 S 上是封闭的（即 a * b 的结果仍在 S 中）。
运算 满足结合律。
存在一个单位元 e，它既是左单位元也是右单位元，即对所有 x 都有 e x = x * e = x。
对于集合中的每一个元素 a，都存在一个逆元 a'，它既是左逆元也是右逆元，即 a' a = a * a' = e。
7. 预告：群的诞生
作者最后明确指出，一个具备了以上所有性质的代数结构 ⟨S, *⟩，就叫做群 (Group)。
示例 1：解方程 x a = b
让我们用整数加法来模拟解 x + 5 = 2。
1. 给定: x + 5 = 2
2. 两边右侧加上 5 的右逆元 -5: (x + 5) + (-5) = 2 + (-5)
3. 结合律: x + (5 + (-5)) = 2 - 5
4. 右逆元性质: x + 0 = -3
5. 右单位元性质: x = -3
这个过程就依赖于右单位元和右逆元的存在。对于加法和乘法，由于它们是可交换的，左右之分不明显，但对于一般运算则非常重要。
* 示例 2：一个不满足双边性质的例子（构想）
假设我们有一个集合 S = {e, a, b} 和一个运算 *。
假设 e 是左单位元但不是右单位元：ea=a, eb=b，但是 a*e=b。
假设 a 只有左逆元 b：ba=e，但是 ab=a。
在这种怪异的系统里：
我们可以解方程 a x = e。解法：左边乘以 b，b(ax) = be -> (ba)x=b -> ex=b -> x=b。 验证：ab=a \neq e，说明我们的解法出错了，或者说 x=b 不是解。哪里错了？be 不一定等于 b，因为 e 不是右单位元。这就显示了双边性质的重要性。
* 左右性质必须都满足：群的定义是严格的，要求单位元和逆元都必须是“双边的”，即同时满足左性质和右性质。只满足单边性质的结构存在，但它们不是群（它们有别的名字，如幺半群、半群等，但功能上有所欠缺）。
每个元素都要有逆元：逆元的存在性必须对集合中的每一个元素都成立。在乘法中，这是一个常见的易错点。例如，所有整数的集合 Z 在乘法下不是群，因为虽然有单位元 1，但 2 就没有乘法逆元（1/2 不是整数）。必须排除 0，并且把范围扩大到有理数 Q 或实数 R*，才能构成乘法群。
* 封闭性是隐含前提：在讨论这些性质时，一个基本前提是运算必须是封闭的，即任意两个元素的运算结果仍然属于这个集合。例如，奇数集合在加法下就不是封闭的，因为 3 + 5 = 8 (偶数)。
本段将解线性方程的需求，最终提炼为对一个代数系统 ⟨S, *⟩ 的四项核心要求：
1. 封闭性：* 是 S 上的二元运算。
2. 结合律： 满足 (ab)c = a(b*c)。
3. 单位元：存在一个 e，对所有 x 满足 ex = xe = x。
4. 逆元：对每个 a，都存在一个 a' 满足 a'a = aa' = e。
这四条性质共同构成了群的定义，它保证了该系统在代数上是“完备”和“功能强大”的，至少足以解决所有内部的线性方程。
本段的目的是在正式给出定义之前，将所有铺垫和分析进行一次最终的梳理和汇总。它像一个“产品发布会”前的预告片，清晰地告诉观众：我们为了实现“解线性方程”这个目标，通过分析和推理，发现需要一个具备某几项特定功能的“产品”。这个“产品”，我们即将命名为“群”。这使得接下来的定义不再是凭空出现，而是顺理成章、水到渠成的结果。
想象你在设计一个完美的“双向传送系统”。
* 集合 S 是所有传送点的集合。
二元运算 a b 是指：从 a 点出发，执行一次 b 类型的传送。
* 封闭性：执行任何传送后，你总是会到达另一个已知的传送点，不会跑到地图外面去。
单位元 e：这是一个“原地传送”的操作。在任何点执行“原地传送”，你仍然在原地。a e = a 就是在 a 点执行原地传送，结果还在 a。e * a 就是从原点出发，执行一次 a 类型的传送，直接到达 a 点。
逆元 a'：对于每一种传送类型 a（比如“向东传送 5 公里”），都必须有一种与之完全相反的传送类型 a'（“向西传送 5 公里”）。执行 a a' 就等于先向东 5 公里，再向西 5 公里，结果回到了出发点。回到出发点就等效于执行了一次“原地传送” e。
结合律 (a b) c = a (b * c)：这意味着两种操作序列是等价的：
1. 先从出发点执行 a 传送，再执行 b 传送，到达一个中间点；然后从这个中间点再执行 c 传送。
2. 先计算出“先 b 后 c”等价于哪种“一次性”传送（即 b*c），然后从出发点执行 a 传送，再执行这个“一次性”传送。
结果必须一样。
一个满足所有这些条件的传送系统，就是一个群。在这个系统里，你可以从任何点出发，到达任何其他点，并且总能找到一条路返回起点。解方程 a x = b 就好比问：“我先在原点执行了 a 传送，然后执行了未知的 x 传送，最终到达了 b 点。请问 x 传送是什么？” 答案就是：先执行 a 的逆传送 a' 回到原点，再执行 b 传送，即 x = a' b。
想象一个正方形，你可以对它进行旋转和翻转，但要求操作结束后，正方形看起来和原来一样（只是顶点位置变了）。
* 集合 S：所有可能的“看起来一样”的操作。比如：{不操作，旋转90°，旋转180°，旋转270°，水平翻转，垂直翻转，...}。
二元运算 a b：先执行 a 操作，再执行 b 操作。
* 封闭性：你连续做两次操作，其效果等同于某一次单一的操作。比如，先旋转90°，再旋转180°，其效果等同于一次性旋转270°。这个“旋转270°”也是集合中的一个操作。
* 单位元 e：“不操作”就是单位元。任何操作之后再“不操作”，等于只做了前面的操作。
* 逆元 a'：每个操作都有一个“撤销”它的操作。比如，“旋转90°”的逆元是“旋转270°”（或者说“逆时针旋转90°”），因为连续做这两个操作，正方形就回到了最初的状态，等同于“不操作”。
结合律：(旋转90° 旋转180°) 水平翻转 和 旋转90° (旋转180° * 水平翻转) 的最终效果是一样的。
这个对正方形的操作集合就构成了一个群（称为二面对称群 $D_4$）。这个例子更接近抽象代数，因为它里面的元素不再是数，而是“动作”或“变换”，而且它不满足交换律（先旋转后翻转，和先翻转后旋转，结果可能不一样）。
与其像上一段末尾那样使用第 2 节和第 3 节中定义的术语来描述一个群，我们不如给出一个自包含的定义。这使得拿起这本教材的人无需查阅更多术语就能了解什么是群。
4.1 定义 群 $\langle G, *\rangle$ 是一个集合 $G$，在二元运算 $*$ 下是封闭的，并满足以下公理：
$\mathscr{G}_{1}:$ 对于所有 $a, b, c \in G$，我们有
$\mathscr{G}_{2}$ : 在 $G$ 中存在一个元素 $e$，使得对于所有 $x \in G$，
$\mathscr{G}_{3}$ : 对于 $G$ 中的每个 $a$，都存在一个元素 $a^{\prime}$ 在 $G$ 中，使得
这一部分正式给出了群的数学定义。作者首先解释了为什么要把定义写得“自包含”，即不依赖于前面章节的术语，这是为了清晰和方便查阅。
一个代数结构要成为一个群，必须满足以下所有条件：
1. 基本构成：
* 一个非空集合 $G$。这个集合包含了群的所有元素。
* 一个在 $G$ 上的二元运算 $*$。这个运算告诉你如何将集合 $G$ 中的任意两个元素组合起来，得到一个新的结果。
2. 封闭性 (Closure)：
* 定义中“在二元运算 $*$ 下是封闭的”这句话保证了这一点。
* 含义：对于集合 $G$ 中的任意两个元素 $a$ 和 $b$，它们经过运算 $a * b$ 得到的结果，必须仍然是 $G$ 中的一个元素。
* 重要性：这保证了我们的运算不会“跑出”我们所研究的范围。如果运算结果跑到集合外面去了，那么基于这个运算的进一步讨论就变得没有意义了。
3. 公理 $\mathscr{G}_{1}$：结合律 (Associativity)
* 公式：$(a * b) * c=a *(b * c)$
* 含义：当有三个或更多元素连续进行运算时，运算的顺序无关紧要。你可以先算前两个，再把结果和第三个算；也可以先算后两个，再用第一个和它们的结果算。最终答案是一样的。
* 重要性：这是代数结构中非常基本和强大的一个性质，是后面许多定理证明的基础，也是我们可以省略括号写 $a*b*c$ 的原因。
4. 公理 $\mathscr{G}_{2}$：单位元的存在 (Existence of an Identity Element)
* 公式：$e * x=x * e=x$
* 含义：在集合 $G$ 中，必须存在一个非常特殊的元素 $e$，它被称为单位元。这个元素和任何其他元素 $x$（包括它自己）进行运算，结果都等于那个元素 $x$。它就像是运算中的“中性”元素，不起任何改变作用。
* 重要性：单位元是逆元概念的基础，也是代数运算的一个“原点”或“参考点”。
5. 公理 $\mathscr{G}_{3}$：逆元的存在 (Existence of an Inverse Element)
* 公式：$a * a^{\prime}=a^{\prime} * a=e$
* 含义：对于集合 $G$ 中的每一个元素 $a$，都必须存在一个对应的元素 $a^{\prime}$（也在 $G$ 中），称为 $a$ 的逆元。它们俩进行运算（无论是左乘还是右乘），结果都等于单位元 $e$。
* 重要性：逆元提供了“撤销”或“抵消”一个操作的能力。正是因为有逆元，我们才能解线性方程。
总结一下：一个群 ⟨G, ⟩ 就是一个集合 G 和一个运算 ，这个组合满足了封闭性、结合律，并且有单位元和对每个元素都有逆元这四个条件。
* $\langle G, *\rangle$: 这是表示一个代数结构的标准符号。尖括号里，第一个位置是集合 (Carrier set)，第二个位置是运算 (Operation)。当说 $\langle G, *\rangle$ 是一个群时，就意味着集合 $G$ 和运算 $*$ 共同满足了群的四个条件。
* $a, b, c \in G$: 表示 $a, b, c$ 都是集合 $G$ 中的元素。
* $(a * b) * c=a *(b * c)$ (结合律):
* 左边 $(a * b) * c$: 先计算 $a$ 和 $b$ 的运算结果，得到一个新元素（假设是 $d$），然后再计算 $d$ 和 $c$ 的运算。
* 右边 $a *(b * c)$: 先计算 $b$ 和 $c$ 的运算结果，得到一个新元素（假设是 $f$），然后再计算 $a$ 和 $f$ 的运算。
* 等号表示这两个不同计算顺序得到的结果是完全相同的。
* $\exists e \in G, \forall x \in G, e * x=x * e=x$ (单位元):
* $\exists e \in G$: “存在一个元素 $e$ 在 $G$ 中”。这表示单位元不需要有很多，但至少要有一个。
* $\forall x \in G$: “对于所有（任意）在 $G$ 中的元素 $x$”。这表示单位元的性质是对 G 中所有元素都成立的，没有例外。
* $e * x=x * e=x$: 单位元从左边乘或者从右边乘，效果都一样，就是不改变 $x$。
* $\forall a \in G, \exists a^{\prime} \in G, a * a^{\prime}=a^{\prime} * a=e$ (逆元):
* $\forall a \in G$: “对于所有（任意）在 $G$ 中的元素 $a$”。这强调了每个元素都必须有逆元。
* $\exists a^{\prime} \in G$: “存在一个元素 $a^{\prime}$ 在 $G$ 中”。对于一个 $a$，它的逆元 $a'$ 至少要有一个。
* $a * a^{\prime}=a^{\prime} * a=e$: $a$ 的逆元 $a'$ 从左边乘或从右边乘，效果都一样，就是得到单位元 $e$。这里的 $a'$ 是依赖于 $a$ 的，不同的元素通常有不同的逆元。
* 示例1：整数加法群 $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$
* 集合 G: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ (所有整数)
运算: 普通加法 +
1. 封闭性: 任意两个整数相加，结果仍然是一个整数。 (例如: $5 + (-8) = -3 \in \mathbb{Z}$) -> 满足
2. 结合律: 对于任意整数 $a, b, c$，$(a+b)+c = a+(b+c)$。 (例如: $(2+3)+(-5) = 5-5=0$; $2+(3-5) = 2-2=0$) -> 满足
3. 单位元: 存在一个整数 $e=0$，对于任意整数 $x$，都有 $0+x = x+0 = x$。 -> 满足
4. 逆元: 对于任意整数 $a$，都存在它的相反数 $-a$ 也是整数，使得 $a+(-a) = (-a)+a = 0$。 (例如: 7的逆元是-7; -4的逆元是4; 0的逆元是0)。 -> 满足
* 结论: $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$ 是一个群。
* 示例2：正有理数乘法群 $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$
* 集合 G: $\mathbb{Q}^+ = \{p/q \mid p, q \text{是正整数}\}$ (所有正有理数)
运算: 普通乘法 ·
1. 封闭性: 任意两个正有理数相乘，结果仍然是一个正有理数。 (例如: $(2/3) \cdot (5/7) = 10/21 \in \mathbb{Q}^+$) -> 满足
2. 结合律: 对于任意正有理数 $a, b, c$，$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$。 -> 满足
3. 单位元: 存在一个正有理数 $e=1$，对于任意正有理数 $x$，都有 $1 \cdot x = x \cdot 1 = x$。 -> 满足
4. 逆元: 对于任意正有理数 $a = p/q$，都存在它的倒数 $a' = q/p$ 也是正有理数，使得 $(p/q) \cdot (q/p) = 1$。 (例如: 3的逆元是1/3; 2/5的逆元是5/2)。 -> 满足
* 结论: $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 是一个群。
* 示例3：一个不是群的例子 $\langle \mathbb{N}, + \rangle$ (自然数加法)
* 集合 G: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ (正整数)
运算: 普通加法 +
1. 封闭性: 满足 ($2+3=5 \in \mathbb{N}$)
2. 结合律: 满足
3. 单位元: 不满足。加法单位元是0，但是 $0 \notin \mathbb{N}$。
4. 逆元: 不满足。即使我们把0包含进来，对于元素3，它的逆元是-3，但 $-3 \notin \mathbb{N}$。
* 结论: $\langle \mathbb{N}, + \rangle$ 不是群。
* 封闭性是第一道坎：在判断一个结构是否为群时，要最先检查封闭性。例如，奇数集合 $\{..., -3, -1, 1, 3, ...\}$ 在加法下就不是群，因为 $1+3=4$，4不是奇数，不封闭。
* 看清楚集合和运算：同一个集合，在不同运算下，可能是群，也可能不是。例如，$\mathbb{Z}$ 在加法下是群，但在乘法下不是群（因为2没有整数逆元）。同一个运算，在不同集合下，也可能不同。例如，加法在 $\mathbb{Z}$ 上构成群，但在 $\mathbb{N}$ 上不构成。
* 每个元素都必须有逆元：这个条件非常严格。只要有一个元素找不到逆元，整个结构就不是群。这是非零实数 $\mathbb{R}^*$ 在乘法下是群，而所有实数 $\mathbb{R}$ 在乘法下不是群的根本原因（因为0没有乘法逆元）。
* 群不要求交换律：定义里没有 $a*b = b*a$ 这一条。满足交换律的群被称为阿贝尔群或交换群，它们是群里的一类，但不是所有群都满足。矩阵乘法就是一个典型的不可交换的例子。
本段给出了群的四条核心公理化定义：
1. 封闭性: 运算结果不出圈。
2. 结合律: 多步运算顺序无所谓。
3. 单位元: 有一个“什么都不做”的元素。
4. 逆元: 每个操作都有一个“撤销”操作。
这个定义是抽象代数的基石。它将我们从对具体数字的运算中解放出来，转向研究满足这些性质的更广泛的结构。任何满足这四条规则的系统（无论其元素是数字、矩阵、函数、还是几何变换），都可以应用一整套强大的群论定理，这就是抽象的力量。
本段的目的是提供一个精确、无歧义的、可供后续所有证明和推导引用的“法律条文”。数学的严谨性要求每一个概念都有一个明确的定义。这个定义就是未来所有关于群的讨论的共同基础和出发点。通过这种公理化的方式，数学家可以确保他们讨论的是同一个东西，并且可以从这些最基本的公理出发，像盖房子一样，逻辑地构建起整座群论的大厦。
将群想象成一个“完美对称”的系统。
* 集合 G 是系统的所有可能状态。
运算 是从一个状态到另一个状态的变换。
* 封闭性：任何变换之后，系统总是处于一个已知的状态。
* 结合律：连续施加变换时，变换的组合方式不影响最终结果。
* 单位元 e：代表“保持不变”的变换，它是系统最完美、最中心的对称状态。
* 逆元 a'：对于任何偏离中心状态的变换 a，总有另一个变换 a' 能把它精确地带回中心状态。
一个系统越“对称”，它所对应的群就越丰富。比如，一个圆比一个正方形更对称，它的旋转群就包含无限个元素，而正方形的旋转群只有4个元素。
想象一个魔方。
* 集合 G：所有可能的操作序列的集合（比如“顶层顺时针转90°”，“右侧面转180°”等等），以及它们的组合。更准确地说，是所有这些操作导致的魔方状态的集合。
运算：连续执行两个操作。比如 R (右面顺时针转) * U (顶层顺时针转)。
* 封闭性：你对魔方做的任何操作序列，最后得到的仍然是一个合法的魔方状态，效果上等同于某个单一的复合操作。
结合律：(R U) F (前面顺时针转) 和 R (U * F) 得到的结果是一样的。你可以验证一下。
* 单位元 e：“不做任何操作”就是单位元。
* 逆元 a'：任何一个操作都有其逆操作。比如 R 的逆操作就是 R' (右面逆时针转)。连续执行 R 和 R'，魔方右侧就恢复原状了。
魔方的所有可能操作就构成了一个非常庞大但有限的群（魔方群）。这个群不是阿贝尔群，因为 R U 的结果和 U R 的结果是不同的。
4.2 示例 我们很容易看到 $\langle U, \cdot\rangle$ 和 $\left\langle U_{n}, \cdot\right\rangle$ 是群。复数乘法是结合的，并且 $U$ 和 $U_n$ 都包含 1，它是乘法的单位元。对于 $e^{i \theta} \in U$，计算
表明 $U$ 的每个元素都有逆元。对于 $z \in U_{n}$，计算
表明 $U_n$ 的每个元素都有逆元。因此 $\langle U, \cdot\rangle$ 和 $\left\langle U_{n}, \cdot\right\rangle$ 是群。由于 $\left\langle\mathbb{R}_{c},+_{c}\right\rangle$ 与 $\langle U, \cdot\rangle$ 同构，我们看到 $\left\langle\mathbb{R}_{c},+_{c}\right\rangle$ 对于所有 $c \in \mathbb{R}^{+}$ 都是一个群。类似地，$\left\langle\mathbb{Z}_{n},+_{n}\right\rangle$ 与 $\left\langle U_{n}, \cdot\right\rangle$ 同构这一事实表明 $\left\langle\mathbb{Z}_{n},+_{n}\right\rangle$ 对于所有 $n \in \mathbb{Z}^{+}$ 都是一个群。
本段通过几个重要的例子，来具体展示群的构成。这些例子在抽象代数中非常基础且常用。
1. 复数单位圆群 $\langle U, \cdot\rangle$
* 集合 $U$：这是复平面上所有到原点距离为1的复数的集合。它可以表示为 $\{z \in \mathbb{C} \mid |z|=1\}$。这些数在复平面上构成一个以原点为圆心，半径为1的圆，因此被称为单位圆。任何这样的复数都可以写成欧拉形式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，其中 $\theta$ 是实数。
* 运算：普通的复数乘法。
* 验证群公理：
* 封闭性：两个模为1的复数相乘，结果的模等于模的乘积，即 $1 \times 1 = 1$。所以结果仍在单位圆上。封闭性满足。
* 结合律：复数乘法本身是满足结合律的。满足。
* 单位元：复数 $1$ (即 $1+0i$，或者 $\theta=0$ 时的 $e^{i0}$) 在集合 $U$ 中，并且任何 $z \in U$ 乘以1都等于 $z$。所以单位元是1。满足。
* 逆元：对于任意元素 $z = e^{i\theta} \in U$，它的逆元是 $z' = e^{i(2\pi-\theta)}$ 或 $e^{-i\theta}$。因为 $e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = e^{i(\theta-\theta)} = e^{i0} = 1$。这个逆元 $e^{-i\theta}$ 的模也是1，所以它也在集合 $U$ 中。因此每个元素都有逆元。满足。
* 结论：$\langle U, \cdot\rangle$ 是一个群。
2. n次单位根群 $\langle U_n, \cdot\rangle$
* 集合 $U_n$：这是方程 $z^n=1$ 在复数范围内的所有解的集合。这些解被称为n次单位根。它们恰好有 $n$ 个，并且可以写成 $e^{i(2\pi k/n)}$ 的形式，其中 $k = 0, 1, 2, ..., n-1$。这些点在复平面上均匀地分布在单位圆上，构成一个正n边形的顶点。
* 运算：普通的复数乘法。
* 验证群公理：
* 封闭性：取两个 $U_n$ 中的元素 $z_1 = e^{i(2\pi k_1/n)}$ 和 $z_2 = e^{i(2\pi k_2/n)}$。它们的乘积是 $z_1 z_2 = e^{i(2\pi (k_1+k_2)/n)}$。这个结果仍然是 $e^{i(2\pi k'/n)}$ 的形式，所以它也是一个n次单位根。封闭性满足。
* 结合律：复数乘法满足结合律。满足。
* 单位元：$1$ (当 $k=0$ 时) 是方程 $z^n=1$ 的一个解，所以在 $U_n$ 中。它是乘法单位元。满足。
* 逆元：对于任意元素 $z \in U_n$，我们有 $z^n=1$。那么 $z \cdot z^{n-1} = z^n = 1$。这说明 $z$ 的逆元是 $z^{n-1}$。由于 $z^{n-1}$ 本身也是一个n次单位根（可以验证 $(z^{n-1})^n = (z^n)^{n-1} = 1^{n-1}=1$），所以逆元在集合 $U_n$ 中。满足。
* 结论：$\langle U_n, \cdot\rangle$ 是一个群。
3. 通过同构关系确定群
* 同构 (Isomorphism) 的基本思想是：如果两个群在结构上是完全一样的，只是元素的名字和运算的符号不同，那么它们就是同构的。如果已知 $\langle A, *_A \rangle$ 是一个群，并且它与 $\langle B, *_B \rangle$ 同构，那么我们无需再次验证，就可以直接断定 $\langle B, *_B \rangle$ 也是一个群。因为所有群的性质都会通过同构映射被完美地“复制”过去。
* $\langle \mathbb{R}_c, +_c \rangle$：这个例子（来自前文，这里未详细展开）指的是在某个区间上的实数加法（模c）。因为它与 $\langle U, \cdot \rangle$ 同构，而后者已知是群，所以 $\langle \mathbb{R}_c, +_c \rangle$ 也是群。
* $\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle$ (模n加法群)：
* 集合 $\mathbb{Z}_n$：$\{0, 1, 2, ..., n-1\}$。
* 运算 $+_n$：模n加法。即 $a +_n b$ 等于 $(a+b) \pmod n$。
* 作者指出，这个结构与n次单位根群 $\langle U_n, \cdot \rangle$ 同构。这个同构可以通过映射 $\phi: \mathbb{Z}_n \to U_n$，定义为 $\phi(k) = e^{i(2\pi k/n)}$ 来建立。可以证明这个映射保持了运算结构：$\phi(a+_n b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$。
* 因为已经证明了 $\langle U_n, \cdot \rangle$ 是一个群，所以通过同构关系，我们可以立即得出结论：$\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle$ 对于所有正整数 $n$ 也是一个群。这是群论中一个非常重要的有限群例子。
* $\langle U, \cdot\rangle$:
* $U = \{z \in \mathbb{C} \mid |z|=1\} = \{e^{i\theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\}$: 复平面上的单位圆。
* $\cdot$: 复数乘法。
* 逆元计算: $e^{i \theta} \cdot e^{i(2 \pi-\theta)}=e^{i(\theta + 2\pi - \theta)} = e^{i2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1$。
这里 $e^{i(2\pi-\theta)}$ 就是 $e^{-i\theta}$ 再加上一个 $2\pi$ 的相位，因为 $e^{i2\pi}=1$，所以 $e^{i(2\pi-\theta)} = e^{i2\pi}e^{-i\theta} = 1 \cdot e^{-i\theta} = e^{-i\theta}$。所以 $e^{i\theta}$ 的逆元是 $e^{-i\theta}$ (即 $\cos\theta - i\sin\theta$，它的共轭复数)。
* $\langle U_n, \cdot\rangle$:
* $U_n = \{z \in \mathbb{C} \mid z^n=1\}$: n次单位根的集合。
* $\cdot$: 复数乘法。
* 逆元计算: $z \cdot z^{n-1}=z^{1+(n-1)}=z^n$。根据 $U_n$ 的定义，对于任何属于 $U_n$ 的元素 $z$，都有 $z^n=1$。所以 $z \cdot z^{n-1} = 1$。这表明 $z$ 的逆元就是 $z^{n-1}$。
* 同构 (Isomorphism): $\langle G, * \rangle \simeq \langle G', *' \rangle$
* 符号 $\simeq$ 表示“同构于”。
* 它意味着存在一个双射函数(bijection) $\phi: G \to G'$，并且这个函数保持运算结构，即对于所有 $a,b \in G$，都有 $\phi(a*b) = \phi(a) *' \phi(b)$。
* 示例1：$U_4$ (4次单位根群)
* 集合 $U_4$: 方程 $z^4=1$ 的解。它们是 $\{1, i, -1, -i\}$。
* $k=0: e^{i(2\pi \cdot 0/4)} = e^0 = 1$
* $k=1: e^{i(2\pi \cdot 1/4)} = e^{i\pi/2} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i$
* $k=2: e^{i(2\pi \cdot 2/4)} = e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$
* $k=3: e^{i(2\pi \cdot 3/4)} = e^{i3\pi/2} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = -i$
* 单位元: 1
* 逆元:
* 1的逆元是 $1^{4-1}=1^3=1$。
* $i$ 的逆元是 $i^{4-1}=i^3 = -i$。验证: $i \cdot (-i) = -i^2 = -(-1) = 1$。
* $-1$ 的逆元是 $(-1)^{4-1}=(-1)^3=-1$。验证: $(-1) \cdot (-1) = 1$。
* $-i$ 的逆元是 $(-i)^{4-1}=(-i)^3 = i$。验证: $(-i) \cdot i = -i^2 = 1$。
* 所有条件都满足，$\langle U_4, \cdot \rangle$ 是一个群。
* 示例2：$\mathbb{Z}_4$ (模4加法群)
* 集合 $\mathbb{Z}_4$: $\{0, 1, 2, 3\}$
* 运算: 模4加法 $+_4$
* 单位元: 0
* 逆元:
* 0的逆元是0。($0+0=0$)
* 1的逆元是3。($1+3=4 \equiv 0 \pmod 4$)
* 2的逆元是2。($2+2=4 \equiv 0 \pmod 4$)
* 3的逆元是1。($3+1=4 \equiv 0 \pmod 4$)
* $\langle \mathbb{Z}_4, +_4 \rangle$ 是一个群。
* 示例3：$\mathbb{Z}_4$ 和 $U_4$ 的同构
* 映射 $\phi: \mathbb{Z}_4 \to U_4$ 定义为 $\phi(k) = i^k$。
* $\phi(0) = i^0 = 1$
* $\phi(1) = i^1 = i$
* $\phi(2) = i^2 = -1$
* $\phi(3) = i^3 = -i$
* 这是一个一一对应。我们来验证它是否保持运算。例如，我们计算 $\phi(2 +_4 3)$：
* 在 $\mathbb{Z}_4$ 中: $2 +_4 3 = 5 \pmod 4 = 1$。所以 $\phi(2 +_4 3) = \phi(1) = i$。
* 在 $U_4$ 中: $\phi(2) \cdot \phi(3) = (-1) \cdot (-i) = i$。
* 两者结果相同！这表明该映射确实保持了运算结构。因此 $\langle \mathbb{Z}_4, +_4 \rangle \simeq \langle U_4, \cdot \rangle$。
* $U$ vs $U_n$: $U$ 是一个无限群，因为它包含由所有实数 $\theta$ 对应的 $e^{i\theta}$。$U_n$ 是一个有限群，它只有 $n$ 个元素。
* 同构的威力与陷阱: 同构是一个非常强大的工具，可以帮我们“隔空”证明一个结构是群。但使用它的前提是，你必须已经严格证明了同构关系的存在，或者这个同构关系是已知的结论。不能凭感觉说两个群长得像就认为它们同构。
* $\mathbb{Z}_n$ 的运算: 要注意 $\mathbb{Z}_n$ 通常有两个运算，模n加法 $+_n$ 和模n乘法 $\cdot_n$。$\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle$ 总是一个群。但是 $\langle \mathbb{Z}_n, \cdot_n \rangle$ 不是一个群（因为0没有逆元）。即使去掉0，剩下的集合 $\{1, ..., n-1\}$ 在模n乘法下也不一定是群（只有当n是素数时才是）。
本段介绍了几个核心的群的例子：
1. 无限群 $\langle U, \cdot\rangle$ (单位圆群)，代表连续旋转。
2. 有限群 $\langle U_n, \cdot\rangle$ (n次单位根群)，代表离散的、规则的旋转。
3. 有限群 $\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle$ (模n加法群)，是有限群中最基本、最重要的例子之一。
此外，本段引入了同构的思想，并用它来从一个已知群（如 $U_n$）推断出另一个结构（如 $\mathbb{Z}_n$）也是群。这是一种高效的、体现了结构主义思想的数学方法。
定义给出之后，必须要有具体的例子来帮助理解。本段的目的就是提供这些例子。这些例子并非随意选取的，它们是群论中最基本、最典型的几类群：
* $U$ 和 $U_n$ 连接了群论与复数、几何（旋转）。
* $\mathbb{Z}_n$ 是数论和计算机科学中常见的结构，是有限群的入门砖。
* 通过同构将 $U_n$ 和 $\mathbb{Z}_n$ 联系起来，首次展示了表面上完全不同的两个数学对象（复数乘法和整数模加法）可以在底层结构上完全一致，这是抽象代数的核心魅力所在。
* $\langle U, \cdot \rangle$ (单位圆群): 想象一个可以平滑、连续旋转的表盘。它的所有可能旋转角度（不改变表盘本身）就构成了这个群。乘以 $e^{i\theta}$ 就相当于把整个表盘旋转 $\theta$ 弧度。逆元就是反向旋转相同的角度。
* $\langle U_n, \cdot \rangle$ (n次单位根群): 想象一个只有n个刻度的钟表（比如一个正n边形的轮盘）。你只能把它旋转到下一个刻度对齐的位置。这个群就包含了所有这些离散的、允许的旋转操作。例如，$U_4$ 就像是只能旋转0, 90, 180, 270度的操作集合。
* $\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle$ (模n加法群): 想象一个有n个座位的旋转木马，座位编号0到n-1。加法 +k 就代表“向前移动k个座位”。例如在 $\mathbb{Z}_4$ 里，从2号座位开始，执行+3操作，就是向前移动3个座位：2 -> 3 -> 0 -> 1，最终到达1号座位。这和 $2+_4 3 = 1$ 是一致的。这个模型和 $U_n$ 的钟表模型本质上是“同构”的。
* $\langle U, \cdot \rangle$: 想象一根长度为1的指针，一端固定在原点，可以在复平面上自由旋转。它的所有可能指向（尖端位置）就构成了集合 $U$。两个指针 $z_1, z_2$ 相乘，几何意义是：将 $z_2$ 的角度加到 $z_1$ 的角度上，得到一个新的指针 $z_1z_2$。
* $\langle U_n, \cdot \rangle$: 同样是那根指针，但它被施了魔法，只能停在n个固定的位置上，就像一个保险箱的密码拨盘。这些固定的位置就是 $U_n$ 的元素。你对它进行的任何乘法运算（角度相加），最终都只会让它跳到另一个允许的位置上。
* $\langle \mathbb{Z}_n, +_n \rangle \simeq \langle U_n, \cdot \rangle$: 想象你有一张CD，上面有 $n$首歌，编号0到n-1。播放器有一个“下一首”按钮。
* $\mathbb{Z}_n$ 的世界里，你在第 $k$ 首歌，按 $m$ 次“下一首”，你会跳到第 $(k+m) \pmod n$ 首歌。
* $U_n$ 的世界里，想象CD上的 $n$ 首歌均匀分布在一个圆形上。从代表第 $k$ 首歌的点，旋转 $m$ 个“歌曲间隔”的角度，你会到达代表第 $(k+m) \pmod n$ 首歌的点。
* 这两种操作（按按钮和旋转）虽然形式不同，但描述的“歌曲跳转”的内在逻辑是完全一样的。这就是同构。
我们现在指出，我们有时在符号使用上会不严谨。我们不会一直使用二元结构的符号 $\langle G, *\rangle$，而是经常指代群 $G$，但默认 $G$ 上当然有一个二元运算。如果清晰度要求我们指定 $G$ 上的运算 $*$，我们会使用短语“在 $*$ 下的群 $G$”。例如，我们可能指代在加法下的群 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$，而不是写更繁琐的 $\langle\mathbb{Z},+\rangle,\langle\mathbb{Q},+\rangle$ 和 $\langle\mathbb{R},+\rangle$。然而，我们也可以随意指代群 $\mathbb{Z}_{8}$ 而不指定运算。
4.3 定义 阿贝尔群 $G$ 是指其二元运算是可交换的群。 $\square$
这一小节包含两个内容：一是关于符号使用的约定，二是引入一个非常重要的特殊群类——阿贝尔群。
1. 符号的简化 (Notational Convention)
问题：严格的数学符号 ⟨G, ⟩ 虽然精确，但在上下文中如果运算很明确，反复书写会显得非常繁琐和累赘。
* 约定：
* 当我们在讨论一个群时，可以简单地用集合的名字 G 来指代整个群结构。比如，不说“群 ⟨ℤ, +⟩”，而直接说“群 ℤ”。
* 这么说的时候，我们心里默认 G 上已经定义好了一个满足群公理的二元运算。
如果可能产生混淆（例如，一个集合上可以定义多种不同的群运算），或者为了特别强调，我们会明确说出运算。例如，“在加法下的群 ℝ” 和 “在乘法下的群 ℝ”。这里的 ℝ* 是指非零实数。
* 对于一些非常标准的群，比如 ℤ_n，通常默认的运算就是模n加法，所以甚至不用特别说明，直接说“群 ℤ_8”大家也知道指的是 ⟨ℤ_8, +_8⟩。
* 目的：这种简化是为了让表达更流畅、更自然，是数学交流中的一种常见做法。
2. 阿贝尔群的定义 (Abelian Group)
背景：在群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）中，并没有要求运算是可交换的，即没有要求 a b 必须等于 b * a。
定义 4.3：如果一个群 G 的二元运算 恰好满足可交换律（commutative law），即对于 G 中所有的元素 a 和 b，都有 a b = b a，那么这个群就被称为阿贝尔群（Abelian Group），或交换群（Commutative Group）。
重要性：阿贝尔群是一类性质非常良好、结构相对简单的群。许多我们熟悉的群，比如整数加法群 ℤ、实数加法群 ℝ、非零有理数乘法群 ℚ，都是阿贝尔群。但也要注意，存在大量不是阿贝尔群的非阿贝尔群，比如后面会学到的矩阵群、置换群等，它们是群论中更复杂也更有趣的研究对象。
* 符号简化的例子
* 繁琐写法：证明 ⟨ℤ, +⟩ 是 ⟨ℝ, +⟩ 的一个子群。
* 简化写法：证明 ℤ 是 ℝ 在加法下的一个子群。
* 更简化：在讨论加法群的上下文中，可以直接说：ℤ 是 ℝ 的子群。
* 阿贝尔群的例子
* 整数加法群 ⟨ℤ, +⟩: 对于任意整数 a, b，我们知道 a + b = b + a。所以 ⟨ℤ, +⟩ 是一个阿贝尔群。
非零实数乘法群 ⟨ℝ, ·⟩: 对于任意非零实数 a, b，a · b = b · a。所以 ⟨ℝ*, ·⟩ 也是一个阿贝尔群。
* 模n加法群 ⟨ℤ_n, +_n⟩: 对于 a, b ∈ ℤ_n，a +_n b = (a+b) mod n，而 b +_n a = (b+a) mod n。因为普通加法是交换的，所以 a+b=b+a，因此 a +_n b = b +_n a。所以 ⟨ℤ_n, +_n⟩ 都是阿贝尔群。
* 非阿贝尔群的例子（预告）
* 考虑所有 $2 \times 2$ 的可逆实数矩阵的集合，在矩阵乘法下构成一个群，记为 $GL(2, \mathbb{R})$。
* 取两个矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
* 计算 $A \cdot B$:
$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot1 & 1\cdot0+1\cdot1 \\ 0\cdot1+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
* 计算 $B \cdot A$:
$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot1 \\ 1\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
* 因为 $A \cdot B \neq B \cdot A$，所以这个群的运算不是可交换的。因此，$GL(2, \mathbb{R})$ 是一个非阿贝尔群。
不要假设交换律：在学习群论的初期，最大的易错点就是不自觉地使用交换律。因为我们过去的经验主要来自加法和乘法这些交换运算。在证明一个普适的群论定理时，除非题目明确指出是阿贝尔群，否则绝对不能使用 a b = b * a。
* 阿贝尔群是群的子集：所有的阿贝尔群首先都必须是一个群，满足群的四个基本公理。交换律是额外的第五个性质，满足它的群属于一个更特殊的类别。
简写与上下文：符号的简写高度依赖于上下文。如果在同一篇讨论中，既要谈论加法群 ℤ 又要谈论乘法群 ℚ，最好还是使用 ⟨ℤ, +⟩ 和 ⟨ℚ*, ·⟩ 这样的明确写法，或者用文字“加法群Z”来加以区分，避免混淆。
本节主要传达了两个信息：
1. 符号约定：为了方便，可以用集合名 G 直接指代群 ⟨G, *⟩，只要上下文清晰。
2. 阿贝尔群定义：在群的基础上，如果其运算还满足交换律，那么这个群就是一个阿贝尔群。
1. 引入通用语言：告知读者数学家们在日常交流和写作中是如何简化符号的，这有助于读者更快地适应和阅读其他数学文献。
2. 引入重要分类：阿贝尔群是群论中的一个极其重要的分支。提前定义它，是为了在后续的讨论中可以随时引用这个概念。很多定理对于阿贝尔群有更强或更简洁的结论，将它们与非阿贝尔群区分开来，是群论研究的一个基本分类方法。
* 阿贝尔群可以想象成一个“路径无关”的移动系统。从A点出发，先向东走2公里，再向北走3公里；与先向北走3公里，再向东走2公里，最终到达的终点是完全相同的。二维平面上的向量加法就是一个典型的阿贝尔群。
* 非阿贝尔群则是一个“路径相关”的系统。想象你手里拿着一个物体，先让它“绕X轴旋转90度”，再“绕Y轴旋转90度”；与先“绕Y轴旋转90度”，再“绕X轴旋转90度”，最终物体的朝向是不同的。三维空间中的旋转操作就构成了一个非阿贝尔群。
* 阿贝尔群：想象你在调配一杯鸡尾酒。先加2盎司的橙汁，再加1盎司的伏特加；和先加1盎司的伏特加，再加2盎司的橙汁。最终得到的混合液体是完全一样的。
* 非阿贝尔群：想象你穿衣服的顺序。先穿毛衣，再穿外套；和你先穿外套，再把毛衣套在外面。这两种操作顺序得到的结果显然是天差地别的。穿衣服的“操作”就不满足交换律。
交换群被称为阿贝尔群是为了纪念挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）。阿贝尔对多项式方程的可解性问题很感兴趣。在他 1828 年写的一篇论文中，他证明了如果一个方程的所有根都可以表示为其中一个根 $x$ 的有理函数 $f, g, \ldots, h$，并且如果对于任意两个这样的根 $f(x)$ 和 $g(x)$，关系 $f(g(x))=g(f(x))$ 总是成立，那么该方程可以通过根式求解。阿贝尔表明，这些函数实际上置换了方程的根；因此，这些函数是根的置换群的元素。正是这种可解方程相关的置换群中的交换性，使得卡米尔·若尔当（Camille Jordan）在他 1870 年的代数专著中将这些群命名为阿贝尔群；此后，这个名称便应用于一般的交换群。
阿贝尔青少年时期就对数学产生了兴趣，很快就超越了他在挪威的所有老师。1825 年，他终于获得政府旅行资助，前往别处学习，并前往柏林，在那里结识了德国最有影响力的数学期刊《克雷勒杂志》的创始人奥古斯特·克雷勒（August Crelle）。在接下来的几年里，阿贝尔为《克雷勒杂志》贡献了大量论文，其中包括椭圆函数领域的许多论文，他几乎是独自一人创建了该理论。阿贝尔于 1827 年回到挪威，没有职位，负债累累。尽管如此，他继续撰写出色的论文，但在 26 岁时死于肺结核，就在克雷勒成功为他在柏林找到大学职位的前两天。
这部分内容介绍了“阿贝尔群”这个名字的由来，并简要讲述了数学家阿贝尔的生平。
1. “阿贝尔群”的命名来源
* 纪念人物：这个术语是为了纪念挪威天才数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔 (Niels Henrik Abel)。
* 历史背景：阿贝尔研究的核心问题之一是“高次多项式方程是否能用根式求解？”（即只用加减乘除和开方运算来表示解）。这是一个自古希腊以来就困扰数学家的难题。
* 阿贝尔的发现：阿贝尔在他的一篇论文中，探讨了一种特殊情况。他考虑的方程，其所有根都可以通过一个根 $x$ 的有理函数（即分子分母都是关于x的多项式的分式）来表示，比如根是 $x, f(x), g(x), h(x), \dots$。
* 关键条件：阿贝尔发现，如果这些用来生成根的函数满足一个交换条件，即 $f(g(x)) = g(f(x))$（先对根 $x$ 做 $g$ 变换再做 $f$ 变换，和先做 $f$ 变换再做 $g$ 变换，结果一样），那么这个方程就是可以用根式求解的。
* 与群论的联系：阿贝尔意识到，这些函数 $f, g, h, \dots$ 的作用，实际上是在方程的各个根之间进行“重新排列”，即置换 (permutation)。这些置换操作的集合，以及操作的复合（比如先做g再做f），构成了一个群（我们现在称之为伽罗瓦群的一部分）。
* 命名的诞生：阿贝尔发现的那个关键条件 $f(g(x)) = g(f(x))$，用群论的语言来说，就是这个置换群是可交换的。后来，法国数学家卡米尔·若尔当 (Camille Jordan) 在他的重要著作中，为了表彰阿贝尔的这一开创性工作，就将满足这种交换律的群命名为“阿贝尔群”。这个名字就此流传下来，并被广泛应用于所有交换群，而不仅限于与方程求解相关的那些群。
2. 阿贝尔的悲剧人生
* 早慧天才：阿贝尔年少时就展现出惊人的数学才华，迅速超过了他所有的老师。
* 游学与机遇：他在 1825 年获得了去欧洲大陆学习的机会，在柏林认识了《克雷勒杂志》的创始人克雷勒。克雷勒非常赏识阿贝尔的才华，并为他发表了大量极具影响力的论文。
* 开创性工作：阿贝尔在短暂的几年内做出了大量成果，尤其是在椭圆函数理论方面，他几乎是单枪匹马地创立了这个领域。
* 贫困与疾病：尽管才华横溢，阿贝尔时运不济，回到挪威后长期找不到固定工作，生活贫困。
* 英年早逝：在持续的学术研究中，他染上了肺结核，于年仅 26 岁时去世。令人扼腕的是，就在他去世两天前，克雷勒为他在柏林大学争取到的一个教授职位的信件才寄到。
* $f(g(x))=g(f(x))$:
* 这是函数复合的交换律。
* $g(x)$: 表示先对变量 $x$ 应用函数（或变换）$g$。
* $f(g(x)))$: 表示对上一步的结果 $g(x)$ 再应用函数（或变换）$f$。
* 整个等式表明，变换的顺序不影响最终结果。
在群论的背景下，如果 $f$ 和 $g$ 是群的两个元素，函数复合就是群的运算 ，那么这个式子就写成 $f * g = g * f$。
* 阿贝尔与五次方程：阿贝尔最著名的成果之一是证明了一般五次方程不存在根式解。本段提到的与交换群相关的工作，是伽罗瓦理论的前身，它解释了为什么有些方程（其伽罗瓦群是可解群，其中阿贝尔群是可解群的最简单形式）能用根式解，而另一些（如一般五次方程，其伽罗瓦群不是可解群）则不能。这是两个相关但不同的贡献。
* 历史的偶然性：数学术语的命名有时带有历史的偶然性。虽然阿贝尔在研究中发现了交换性的重要作用，但当时“群”的完整概念尚未完全成型。是后来的数学家（如若尔当和伽罗瓦）系统化了群论，并追认了阿贝尔的贡献。
本段介绍了“阿贝尔群”这个名称是对英年早逝的天才数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔的纪念。阿贝尔在研究高次方程根式可解性问题时，发现了与解的置换相关的函数复合满足交换律是方程可解的一个关键条件。后人为了纪念他的这一深刻洞见，便将具有交换性的群命名为阿贝尔群。同时，本段也简述了阿贝尔虽才华盖世却命运多舛的一生。
1. 丰富人文背景：在学习抽象的数学概念之余，提供一些相关的历史故事和人物传记，可以增加学习的趣味性，让数学显得不那么冰冷。
2. 揭示概念源头：解释一个术语的来源，有助于加深对该概念的理解和记忆。知道阿贝尔群与方程求解的历史渊源，能让我们体会到这个概念并非凭空杜撰，而是源于解决具体数学问题的深刻需求。
3. 致敬先驱：在教科书中介绍重要数学家的贡献，是向这些为科学发展作出巨大努力的先驱们表达敬意的一种方式。
想象一下，数学概念就像是地图上的“地名”。
* 学习一个定义，就像是知道一个地方叫“北京”。
* 学习它的历史，就像是了解了“北京”这个名字的由来（比如与燕国、金中都、元大都的历史变迁有关）。
* 了解了地名的历史，虽然不直接影响你使用地图导航，但会让你对这个地方的文化和底蕴有更深刻的认识。同样，了解“阿贝尔群”背后的故事，能让你更好地理解这个概念在整个数学发展史中的位置和重要性。
想象你在看一部关于数学家的传记电影。这一节就是电影中的一个片段，镜头从一个写满公式的黑板（$f(g(x))=g(f(x))$）慢慢拉远，背景音是一个旁白，讲述着公式背后的那个年轻人——阿贝尔的故事：他在昏暗的灯光下奋笔疾书，在柏林的沙龙里与人交流思想，最后在挪威的雪地里咳血倒下。这样的画面能让我们对“阿贝尔”这个名字产生更立体、更感性的认识，而不仅仅是一个抽象的标签。
让我们举一些集合与二元运算形成群的例子，以及一些不形成群的例子。
4.4 示例 在加法下的集合 $\mathbb{Z}^{+}$ 不是一个群。$\mathbb{Z}^{+}$ 中没有加法的单位元。
4.5 示例 包含 0 在内的所有非负整数在加法下仍然不是一个群。存在单位元 0，但 2 没有逆元。
4.6 示例 整数、有理数、实数和复数熟悉的加法性质表明，$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 在加法下都是阿贝尔群。
4.7 示例 在乘法下的集合 $\mathbb{Z}^{+}$ 不是一个群。存在单位元 1，但 3 没有逆元。
4.8 示例 有理数、实数和复数熟悉的乘法性质表明，正数集合 $\mathbb{Q}^{+}$ 和 $\mathbb{R}^{+}$ 以及非零数集合 $\mathbb{Q}^{*}, \mathbb{R}^{*}$ 和 $\mathbb{C}^{*}$ 在乘法下都是阿贝尔群。
这一系列示例通过正例和反例，帮助我们巩固对群定义的理解。判断一个结构是否为群，就是要逐一检验封闭性、结合律、单位元和逆元这四个条件。
* 示例 4.4: 正整数加法 $\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$
* 集合: $\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}$
* 运算: 普通加法 +
* 检验:
1. 封闭性: 两个正整数相加还是正整数。满足。
2. 结合律: 加法满足结合律。满足。
3. 单位元: 加法的单位元是 0。但是 $0 \notin \mathbb{Z}^+$。所以单位元不存在。
* 结论: 因为缺少单位元，所以 $\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$ 不是群。一旦有一条公理不满足，检验就可以停止了。
* 示例 4.5: 非负整数加法 $\langle \mathbb{Z}_{\ge 0}, + \rangle$
* 集合: $\{0, 1, 2, 3, ...\}$
* 运算: 普通加法 +
* 检验:
1. 封闭性: 满足。
2. 结合律: 满足。
3. 单位元: 0 在集合里，是单位元。满足。
4. 逆元: 对于集合里的元素 2，它的加法逆元是 -2。但是 $-2$ 不在这个集合里。所以不是每个元素都有逆元。
* 结论: 因为存在元素没有逆元，所以这个结构不是群。
* 示例 4.6: 常见数集的加法群
* 集合与运算: $\langle \mathbb{Z}, + \rangle, \langle \mathbb{Q}, + \rangle, \langle \mathbb{R}, + \rangle, \langle \mathbb{C}, + \rangle$ (整数、有理数、实数、复数加法)
* 检验:
1. 封闭性: 都是封闭的。
2. 结合律: 加法都满足结合律。
3. 单位元: 0 存在于所有这些集合中。
4. 逆元: 对于这些集合中的任何数 $a$，其相反数 $-a$ 也都存在于各自的集合中。
* 补充检验 (阿贝尔群): 加法满足交换律 $a+b=b+a$。
* 结论: 这四个结构都是阿贝尔群。
* 示例 4.7: 正整数乘法 $\langle \mathbb{Z}^+, \cdot \rangle$
* 集合: $\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}$
* 运算: 普通乘法 ·
* 检验:
1. 封闭性: 两个正整数相乘还是正整数。满足。
2. 结合律: 乘法满足结合律。满足。
3. 单位元: 乘法单位元是 1，它在 $\mathbb{Z}^+$ 中。满足。
4. 逆元: 对于元素 3，它的乘法逆元是 $1/3$。但是 $1/3 \notin \mathbb{Z}^+$。所以不是每个元素都有逆元。（事实上，除了1本身，其他元素都没有逆元）。
* 结论: 这个结构不是群。
* 示例 4.8: 常见数集的乘法群
* $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 和 $\langle \mathbb{R}^+, \cdot \rangle$ (正有理数/正实数乘法)
* 集合: $\mathbb{Q}^+$ (正有理数), $\mathbb{R}^+$ (正实数)
* 检验: 它们都封闭，满足结合律，单位元 1 都在集合中。对于任何正数 $a$，其倒数 $1/a$ 也都是正数且在各自集合中。乘法可交换。
* 结论: 它们都是阿贝尔群。
* $\langle \mathbb{Q}^*, \cdot \rangle, \langle \mathbb{R}^*, \cdot \rangle, \langle \mathbb{C}^*, \cdot \rangle$ (非零有理数/实数/复数乘法)
* 集合: $\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ (所有非零有理数)，$\mathbb{R}^*$ 和 $\mathbb{C}^*$ 同理。
* 为什么要排除0?: 因为0没有乘法逆元。$0 \cdot x = 1$ 无解。
* 检验: 排除0之后，两个非零数相乘结果仍非零，所以是封闭的。结合律满足。单位元 1 存在。对于任何非零数 $a$，其倒数 $1/a$ 也存在且非零。乘法可交换。
* 结论: 它们都是阿贝尔群。
* 验证 4.5: 集合为 $\{0, 1, 2, ...\}$。取元素 $a=5$。它的加法逆元是 $-5$。因为 $-5 \notin \{0, 1, 2, ...\}$，所以 5 在这个集合里没有逆元。因此它不是群。
* 验证 4.7: 集合为 $\{1, 2, 3, ...\}$。取元素 $a=2$。它的乘法逆元是 $1/2$。因为 $1/2$ 不是整数，所以 $1/2 \notin \{1, 2, 3, ...\}$。因此 2 在这个集合里没有逆元。因此它不是群。
* 为什么 $\langle \mathbb{Z}^*, \cdot \rangle$ 不是群?: 集合为 $\{..., -2, -1, 1, 2, ...\}$。取元素 $a=2$。它的乘法逆元是 $1/2$。$1/2$ 不是整数。所以 $\langle \mathbb{Z}^*, \cdot \rangle$ 也不是群。这说明对于乘法，仅仅去掉0还不够，还需要集合本身支持除法运算，比如有理数、实数等。
* 单位元和逆元必须在集合内：这是最常见的错误点。一个运算的单位元或某个元素的逆元可能在“外部”存在，但如果它不属于我们正在研究的这个特定集合，那么对于这个集合来说，它就是不存在的。
* 0在乘法中的特殊地位：在考虑乘法群时，必须对元素0进行特殊处理。由于0没有乘法逆元，任何包含0的数集在乘法下都不可能构成群。因此，我们总是研究“非零”版本的集合，如 $\mathbb{Q}^*$。
* 加法 vs 乘法：对于同一个数集，加法和乘法是否能构成群，条件是完全不同的。
* 加法群的关键是“相反数”的存在。
* 乘法群的关键是“倒数”的存在。
通过一系列正反案例，本节清晰地展示了如何应用群的定义进行判断：
* 非群的例子通常是因为缺少单位元或缺少逆元。
* $\mathbb{Z}^+$ (加法)：缺单位元0。
* 非负整数 (加法)：缺逆元。
* $\mathbb{Z}^+$ (乘法)：缺逆元。
* 群的例子都是我们熟悉的、具有良好代数性质的结构。
* $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 在加法下都是群。
* $\mathbb{Q}^+, \mathbb{R}^+, \mathbb{Q}^*, \mathbb{R}^*, \mathbb{C}^*$ 在乘法下都是群。
* 所有这些常见的数集上的群，其运算都满足交换律，因此它们都是阿贝尔群。
本节的目的是通过具体、简单的例子，将抽象的群定义落地。学习一个新的抽象概念后，最有效的方法就是用它来对熟悉和不熟悉的对象进行分类。通过判断“哪些是，哪些不是”，可以极大地加深对定义中每一条公理的必要性的理解。这些例子也为后续的学习提供了丰富素材和直观感受。
把“群”想象成一个“完美自洽的宇宙”。
* 封闭性：宇宙中的任何相互作用，产生的结果都还在宇宙之内，不会创造出“界外之物”。
* 结合律：多体相互作用时，作用的次序组合不影响最终结果。
* 单位元：宇宙中存在一种“虚空”状态，与任何物体作用都不改变该物体。
* 逆元：宇宙中的每一种“粒子”，都对应一种“反粒子”，它们相遇会“湮灭”成虚空。
用这个模型来审视：
* $\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$：这个宇宙里有各种粒子，但没有“虚空”（0），所以不完美。
* 非负整数加法：这个宇宙有“虚空”（0），也有粒子（正整数），但没有“反粒子”（负整数），所以不完美。
* $\langle \mathbb{Z}, + \rangle$：这个宇宙包含了虚空（0）、所有基本粒子（正整数）和它们对应的反粒子（负整数），是一个完美自洽的“加法宇宙”。
* $\langle \mathbb{Z}^+, \cdot \rangle$：这是一个“乘法宇宙”，有“虚空”（1），但大部分粒子（如2, 3, ...）都没有反粒子（1/2, 1/3, ...），所以不完美。
* $\langle \mathbb{Q}^*, \cdot \rangle$：这是一个完美的“乘法宇宙”，它聪明地排除了捣乱的“黑洞”（0），并且其中每个粒子（非零有理数）都有反粒子（倒数）。
想象你在一个只能前进不能后退的单行道上开车，这条路从1米处开始。这就是 $\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$。你永远也回不到0米处的起点。
现在想象你可以在0米处出发，但仍然只能前进。这就是非负整数加法。你可以停在起点，但一旦开出去了，就再也回不来了。
再想象一条可以双向行驶的无限长的高速公路 ℤ。你在任何一点，都可以前进也可以后退，总能回到0点。这是一个群。
现在换成乘法。想象你的车有一个“倍速”档，可以把当前位置的坐标乘以一个整数。你在1米处，可以挂2倍速档到2米，再挂3倍速档到6米。但你没有“1/2倍速”档，所以你从2米处永远回不到1米处。这不是一个群。
最后，想象你的车可以挂任何有理数倍速档（除了0倍速）。那么你就可以从任何（非零）位置去任何（非零）位置，并且总能通过挂一个倒数倍速档回到1米处。这是一个群。
4.9 示例
4.10 示例
4.11 示例
4.12 示例
4.13 示例
解
所有以 $\mathbb{R}$ 为定义域的实值函数在函数加法下是一个群。这个群是阿贝尔群。
（线性代数）学过向量空间的人应该注意到，仅与向量加法相关的向量空间 $V$ 的公理可以概括为断言 $V$ 在向量加法下是一个阿贝尔群。
所有 $m \times n$ 矩阵 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 在矩阵加法下是一个群。所有元素为 0 的 $m \times n$ 矩阵是单位矩阵。这个群是阿贝尔群。
所有 $n \times n$ 矩阵 $M_{n}(\mathbb{R})$ 在矩阵乘法下不是一个群。所有元素为 0 的 $n \times n$ 矩阵没有逆元。
证明 $M_n(\mathbb{R})$ 中由所有可逆 $n \times n$ 矩阵组成的子集 $S$ 在矩阵乘法下是一个群。
我们首先证明 $S$ 在矩阵乘法下是封闭的。设 $A$ 和 $B$ 在 $S$ 中，因此 $A^{-1}$ 和 $B^{-1}$ 都存在，并且 $AA^{-1}=BB^{-1}=I_n$。那么
所以 $AB$ 是可逆的，因此也在 $S$ 中。
由于矩阵乘法是结合的，并且 $I_n$ 作为单位元，又由于 $S$ 的每个元素根据定义都有逆元，我们看到 $S$ 确实是一个群。这个群不是交换的。它是我们第一个非阿贝尔群的例子。
在前面的例子中描述的可逆 $n \times n$ 矩阵的群在线性代数中具有基础性的重要性。它是 $n$ 阶一般线性群，通常表示为 $G L(n, \mathbb{R})$。学过线性代数的读者都知道，在 $G L(n, \mathbb{R})$ 中的矩阵 $A$ 产生一个从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}^{n}$ 的可逆线性变换 $T$，定义为 $T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}$；反之，每个从 $\mathbb{R}^{n}$ 到自身的可逆线性变换都由 $G L(n, \mathbb{R})$ 中的某个矩阵以这种方式定义。此外，矩阵乘法对应于线性变换的复合。因此，所有从 $\mathbb{R}^{n}$ 到自身的可逆线性变换在函数复合下形成一个群；这个群通常表示为 $G L\left(\mathbb{R}^{n}\right)$。当然，$G L(n, \mathbb{R}) \simeq G L\left(\mathbb{R}^{n}\right)$。
这部分通过函数和矩阵的例子，将群的概念从数集扩展到更抽象的对象。
* 示例 4.9 (实值函数加法群)
* 集合: 所有定义域为 $\mathbb{R}$，值域也为 $\mathbb{R}$ 的函数。我们记这个集合为 $F(\mathbb{R})$。
* 运算: 函数的加法。定义为 $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。
* 检验:
1. 封闭性: 两个这样的函数 $f, g$ 相加，得到的新函数 $f+g$ 的定义域和值域仍然是 $\mathbb{R}$。满足。
2. 结合律: $((f+g)+h)(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+(g(x)+h(x)) = (f+(g+h))(x)$。满足，因为它依赖于实数加法的结合律。
3. 单位元: 零函数，即 $e(x) = 0$ 对所有 $x$ 成立。这个函数是单位元，因为 $(f+e)(x) = f(x)+e(x) = f(x)+0=f(x)$。满足。
4. 逆元: 对任意函数 $f$，其逆元是函数 $f'$ 定义为 $f'(x) = -f(x)$。因为 $(f+f')(x) = f(x)+(-f(x))=0=e(x)$。满足。
5. 交换性: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$。满足。
* 结论: 这个结构是一个阿贝尔群。
* 与向量空间的联系
* 作者指出，一个向量空间的定义包含很多条公理，其中只涉及向量加法的那部分公理（封闭性、结合律、零向量作为单位元、每个向量都有负向量作为逆元、加法交换律），正好就是一个阿贝尔群的定义。所以可以说，任何向量空间在向量加法下，都构成一个阿贝尔群。
* 示例 4.10 (矩阵加法群)
* 集合: 所有 $m \times n$ 的实数矩阵，记为 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$。
* 运算: 矩阵加法。
* 检验: 这和向量空间的加法非常类似。
1. 封闭性: 两个 $m \times n$ 矩阵相加，结果还是 $m \times n$ 矩阵。满足。
2. 结合律: 满足，依赖于实数加法结合律。
3. 单位元: 全零矩阵是单位元。满足。
4. 逆元: 任何矩阵 $A$ 的逆元是 $-A$。满足。
5. 交换性: $A+B=B+A$。满足。
* 结论: $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ 在矩阵加法下是一个阿贝尔群。
* 示例 4.11 (矩阵乘法，反例)
* 集合: 所有 $n \times n$ 的实数矩阵，记为 $M_n(\mathbb{R})$。
* 运算: 矩阵乘法。
* 检验:
1. 封闭性: 两个 $n \times n$ 矩阵相乘，结果还是 $n \times n$ 矩阵。满足。
2. 结合律: 矩阵乘法满足结合律。满足。
3. 单位元: $n \times n$ 的单位矩阵 $I_n$ 是单位元。满足。
4. 逆元: 不满足。例如，全零矩阵就没有乘法逆元。还有很多非零矩阵也没有逆元，比如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
* 结论: $M_n(\mathbb{R})$ 在矩阵乘法下不是群。
* 示例 4.12 (可逆矩阵乘法群)
* 集合: 所有可逆的 $n \times n$ 矩阵，记为 $S$。（这个集合通常记为 $GL(n, \mathbb{R})$）。
* 运算: 矩阵乘法。
* 检验:
1. 封闭性: 这是证明的关键。作者证明了：如果 $A$ 和 $B$ 都是可逆的，那么它们的乘积 $AB$ 也是可逆的。证明方法是直接构造出了 $(AB)^{-1}$，即 $B^{-1}A^{-1}$。因为 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I_n$，所以 $AB$ 可逆，其结果仍在集合 $S$ 中。满足。
2. 结合律: 矩阵乘法本身是结合的。满足。
3. 单位元: 单位矩阵 $I_n$ 是可逆的（它自己就是自己的逆），所以 $I_n \in S$。满足。
4. 逆元: 根据集合 $S$ 的定义，它只包含可逆矩阵，所以里面的每一个元素都天然地有逆元。满足。
5. 交换性: 在之前的例子中我们已经看到，矩阵乘法一般是不可交换的。
* 结论: 这个结构是一个群。而且它是一个非阿贝尔群，这是我们遇到的第一个具体的非阿贝尔群例子。
* 示例 4.13 (一般线性群)
* 命名: 上述由所有可逆 $n \times n$ 矩阵在矩阵乘法下构成的群，被称为 $n$ 阶一般线性群 (General Linear Group)，记作 $GL(n, \mathbb{R})$。
* 与线性变换的联系:
* 每一个可逆矩阵 $A \in GL(n, \mathbb{R})$ 都对应一个从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的可逆线性变换 $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$。
* 反过来，每一个这样的可逆线性变换，也都可以用一个 $GL(n, \mathbb{R})$ 中的矩阵来表示。
* 矩阵乘法 正好对应于 线性变换的复合 (function composition)。
* 因此，所有从 $\mathbb{R}^n$ 到自身的可逆线性变换，在函数复合运算下，也构成一个群，记为 $GL(\mathbb{R}^n)$。
* 这两个群 $GL(n, \mathbb{R})$ 和 $GL(\mathbb{R}^n)$ 是同构的，它们只是看待同一个数学对象的不同角度（一个是代数的矩阵，一个是几何的变换）。
* $M_{m \times n}(\mathbb{R})$: 表示所有 $m$ 行 $n$ 列，且元素都是实数 $\mathbb{R}$ 的矩阵的集合。
* $GL(n, \mathbb{R})$: "General Linear Group of degree n over the Real numbers"。n阶一般线性群。
* G: Group (群)
* L: Linear (线性的，指其元素与线性变换相关)
* n: degree n (n阶，指矩阵是 n x n 的)
* $\mathbb{R}$: over $\mathbb{R}$ (定义在实数域上，指矩阵元素是实数)
* 证明 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
原文中的推导 $(A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A I_{n} A^{-1}=I_{n}$ 证明了 $B^{-1}A^{-1}$ 是 $AB$ 的右逆元。严格来说，还需要证明它是左逆元：
$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}I_n B = B^{-1}B = I_n$。
因为左逆元和右逆元相等，所以 $(AB)$ 的逆元唯一存在，就是 $B^{-1}A^{-1}$。这个性质常被称为“穿鞋脱鞋”法则（穿袜子穿鞋，脱鞋脱袜子，顺序相反）。
* $T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}$:
* $\mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个列向量。
* $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。
* $A\mathbf{x}$ 是矩阵与向量的乘法，结果是另一个列向量。
* $T$ 是一个函数，输入一个向量 $\mathbf{x}$，输出一个向量 $A\mathbf{x}$。这个函数就是线性变换。
* 函数加法: 设 $f(x)=x^2$, $g(x)=2x+1$。
* $f, g$ 都是 $F(\mathbb{R})$ 的元素。
* $(f+g)(x) = x^2+2x+1$。这是另一个函数，也在 $F(\mathbb{R})$ 中。
* $f$ 的逆元是 $-f$，即函数 $h(x)=-x^2$。
* $GL(2, \mathbb{R})$ 中的封闭性:
* 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(A)=1 \neq 0$，所以 $A$ 可逆，$A \in GL(2, \mathbb{R})$。
* 设 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(B)=1 \neq 0$，所以 $B$ 可逆，$B \in GL(2, \mathbb{R})$。
* $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。我们计算它的行列式 $\det(AB) = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1 \neq 0$。
* 因为 $\det(AB) \neq 0$，所以 $AB$ 也是可逆的，它也在 $GL(2, \mathbb{R})$ 中。这验证了封闭性。
* 这也验证了 $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 这个性质 ($1 = 1 \cdot 1$)。
* 群的元素可以是任何东西：这些例子提醒我们，群的元素不一定是“数”，它们可以是函数、矩阵、变换、甚至更奇怪的对象。关键在于是否有一个满足群公理的运算。
* 运算的定义至关重要：对于矩阵集合，加法构成一个（阿贝尔）群，而乘法（在包含所有矩阵时）则不构成群。换成可逆矩阵，乘法又构成一个（非阿贝尔）群。所以，在讨论群时，必须时刻将集合和运算绑定在一起考虑。
* 可逆性是关键：对于乘法类型的运算，是否能构成群的关键点往往在于逆元的存在性。这通常等价于某种形式的“可逆性”或“非奇异性”（例如，矩阵可逆，行列式非零）。
本节将群的概念应用到了函数和矩阵上，得出了几个重要结论：
1. 函数加法群：所有实值函数在逐点加法下构成一个阿贝尔群。
2. 矩阵加法群：所有同尺寸的矩阵在矩阵加法下构成一个阿贝尔群。
3. 矩阵乘法（非群）：所有方阵在矩阵乘法下不构成群，因为存在不可逆的矩阵。
4. 一般线性群 $GL(n, \mathbb{R})$：所有可逆的n阶方阵在矩阵乘法下构成一个群。这是一个非常重要的非阿贝尔群的例子。
5. $GL(n, \mathbb{R})$ 与 $\mathbb{R}^n$ 上的可逆线性变换群 $GL(\mathbb{R}^n)$ 是同构的，反映了代数与几何的联系。
1. 扩展认知边界：打破“群的元素必须是数”的思维定势，展示群论的广泛适用性。函数和矩阵是高等数学中非常核心的对象，证明它们可以构成群，大大提升了群这个概念的重要性。
2. 引入第一个非阿贝尔群：到目前为止，我们遇到的所有群例子（整数加法、有理数乘法、模n加法等）都是阿贝尔群。$GL(n, \mathbb{R})$ 是第一个具体、重要且易于理解的非阿贝尔群范例。这对于理解群论的全貌至关重要，因为许多深刻的理论都与非交换性有关。
3. 连接不同数学分支：通过 $GL(n, \mathbb{R})$ 的例子，将抽象代数（群论）与线性代数（矩阵、线性变换）紧密地联系起来。这种交叉联系是现代数学的一大特征，有助于学生建立更宏观的数学知识体系。
* 函数群：想象你有无数根橡皮筋，每根都代表一个函数 $f(x)$，描述了它的形状。
* 函数加法 $f+g$ 就是把两根橡皮筋在每个横坐标 $x$ 上的高度“叠加”起来，形成一根新的橡皮筋。
* 单位元是那根完全平躺在 x 轴上的橡皮筋（零函数）。
* 逆元 $-f$ 是把 $f$ 上下翻转得到的镜像橡皮筋。
* 一般线性群 $GL(n, \mathbb{R})$：想象你在玩一个计算机图形程序，可以对一个2D或3D物体进行各种线性变换（拉伸、旋转、剪切、缩放），但不能把它压扁成一条线或一个点（这就是可逆的含义）。
* 群的元素就是这些变换操作。
* 群的运算是变换的复合（做完一个变换再做另一个）。
* 封闭性：你对一个物体连续做了两次不压扁的变换，其综合效果等同于某一次不压扁的变换。
* 单位元：“不变换”操作。
* 逆元：每个变换都有一个“撤销”它的逆变换。
* 非交换性：先拉伸再旋转，和先旋转再拉伸，物体的最终形态和朝向是不同的。
* $M_n(\mathbb{R})$ 在乘法下不是群：想象一个折纸宇宙。你可以对一张纸进行各种变换（矩阵乘法）。其中有一个变换叫“压扁”（奇异矩阵），它把一张纸变成了一条线。一旦纸被压扁，你就不可能再通过任何变换把它恢复成一张纸了。因为存在这种不可逆的“压扁”操作，所以这个宇宙不是一个群。
* $GL(n, \mathbb{R})$ 是群：现在想象你被禁止使用“压扁”这种操作。你只能做旋转、拉伸等保持“维度”的变换。那么你做的任何操作，都总能找到一个逆操作把它变回去。这个“不允许压扁”的折纸宇宙，就是一个群。
4.14 示例
设 $*$ 在 $\mathbb{Q}^{+}$ 上定义为 $a * b=a b / 2$。那么
同理
因此 $*$ 是结合的。计算表明
对于所有 $a \in \mathbb{Q}^{+}$ 都成立，所以 2 是 $*$ 的单位元。最后，
所以 $a^{\prime}=4/a$ 是 $a$ 的逆元。因此 $\mathbb{Q}^{+}$ 连同运算 $*$ 是一个群。
这个例子非常巧妙，它展示了一个在熟悉的集合（正有理数 $\mathbb{Q}^+$）上定义的“不寻常”的运算，但最终仍然构成了一个群。这有助于我们摆脱对标准加法和乘法的依赖，更深入地理解群的抽象结构。
* 结构:
* 集合: $G = \mathbb{Q}^+$ (所有正有理数)。
* 运算: $a * b = \frac{ab}{2}$ (其中 $ab$ 是普通乘法)。
* 验证群公理:
1. 封闭性:
* 设 $a, b \in \mathbb{Q}^+$。这意味着 $a > 0$ 且 $b > 0$，并且它们都是有理数。
* 它们的普通乘积 $ab$ 是正有理数。
* 再除以 2，结果 $\frac{ab}{2}$ 仍然是一个正有理数。
* 所以 $a*b \in \mathbb{Q}^+$。封闭性满足。
2. 结合律:
* 我们需要验证 $(a * b) * c = a * (b * c)$。
* 计算左边:
* 先算括号里的: $a * b = \frac{ab}{2}$。
* 再把结果和 $c$ 运算: $(a * b) * c = (\frac{ab}{2}) * c = \frac{(\frac{ab}{2})c}{2} = \frac{abc}{4}$。
* 计算右边:
* 先算括号里的: $b * c = \frac{bc}{2}$。
* 再用 $a$ 和结果运算: $a * (b * c) = a * (\frac{bc}{2}) = \frac{a(\frac{bc}{2})}{2} = \frac{abc}{4}$。
* 因为左边和右边的最终结果都是 $\frac{abc}{4}$，所以结合律满足。
3. 单位元:
* 我们需要找一个元素 $e \in \mathbb{Q}^+$，使得对于任意 $a \in \mathbb{Q}^+$，都有 $a * e = a$ 和 $e * a = a$。
* 让我们解方程 $a * e = a$:
* $\frac{ae}{2} = a$
* 因为 $a$ 是正数，我们可以两边同除以 $a$: $\frac{e}{2} = 1$
* 解得 $e = 2$。
* 验证: 元素 2 是一个正有理数，所以它在我们的集合 $\mathbb{Q}^+$ 中。
* 双向验证:
* $a * 2 = \frac{a \cdot 2}{2} = a$。
* $2 * a = \frac{2 \cdot a}{2} = a$。
* 所以，单位元是 2。单位元存在且满足条件。
4. 逆元:
* 对于任意一个 $a \in \mathbb{Q}^+$，我们需要找一个它的逆元 $a' \in \mathbb{Q}^+$，使得 $a * a' = e$，也就是 $a * a' = 2$。
* 让我们解方程 $a * a' = 2$:
* $\frac{aa'}{2} = 2$
* $aa' = 4$
* $a' = \frac{4}{a}$。
* 验证: 如果 $a$ 是一个正有理数，那么 $\frac{4}{a}$ 也一定是一个正有理数。所以 $a'$ 在我们的集合 $\mathbb{Q}^+$ 中。
* 双向验证:
* $a * \frac{4}{a} = \frac{a \cdot (4/a)}{2} = \frac{4}{2} = 2$。
* $\frac{4}{a} * a = \frac{(4/a) \cdot a}{2} = \frac{4}{2} = 2$。
* 所以，对于每个元素 $a$，它的逆元是 $\frac{4}{a}$。逆元存在且满足条件。
* 结论:
* 因为所有四个群公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）都得到满足，所以 $\langle \mathbb{Q}^+, * \rangle$ (其中 $a*b = ab/2$) 是一个群。
* 另外，由于 $a*b = \frac{ab}{2} = \frac{ba}{2} = b*a$，这个群也是一个阿贝尔群。
* $(a * b) * c=\frac{a b}{2} * c=\frac{a b c}{4}$:
* 第一步: 将 $(a*b)$ 替换为其定义 $\frac{ab}{2}$。
第二步: 将 $(\frac{ab}{2})$ 和 $c$ 按照 运算的规则进行运算。此时，第一个操作数是 (ab/2)，第二个操作数是 c。根据定义 $X * Y = \frac{XY}{2}$，我们有 $(\frac{ab}{2}) * c = \frac{(\frac{ab}{2}) \cdot c}{2}$。
* 第三步: 化简分数，得到 $\frac{abc}{4}$。
* $2 * a=a * 2=a$:
* $2 * a = \frac{2a}{2} = a$。这里将定义中的 a 换成 2，b 换成 a。
* $a * 2 = \frac{a2}{2} = a$。这里将定义中的 a 保持为 a，b 换成 2。
* $a * \frac{4}{a}=\frac{4}{a} * a=2$:
* $a * \frac{4}{a} = \frac{a \cdot (4/a)}{2} = \frac{4}{2} = 2$。
* 这里 b 的角色由 $\frac{4}{a}$ 扮演。
* 结果 2 正是我们找到的单位元。
* 运算示例:
* $4 * 6 = \frac{4 \cdot 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$。
* $1 * 5 = \frac{1 \cdot 5}{2} = 2.5$。
* 单位元示例:
* $5 * 2 = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$。
* $(1/3) * 2 = \frac{(1/3) \cdot 2}{2} = 1/3$。
* 可以看到，任何数与 2 运算都保持不变。
* 逆元示例:
* 对于元素 a=8，它的逆元是 $a' = 4/8 = 1/2$。
* 验证: $8 * (1/2) = \frac{8 \cdot (1/2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (单位元)。
* 对于元素 a=1/3，它的逆元是 $a' = \frac{4}{1/3} = 12$。
* 验证: $(1/3) * 12 = \frac{(1/3) \cdot 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$ (单位元)。
直觉陷阱：我们的直觉会告诉我们乘法单位元是1，逆元是倒数。但在这个例子中，由于运算 被重新定义了，单位元和逆元也随之改变。单位元变成了 2，逆元变成了 4/a。这说明单位元和逆元是依赖于具体运算的，而不是一成不变的。
不要混淆运算：在计算 $a * b = ab/2$ 时，右边的 $ab$ 是普通乘法，而左边的 是我们定义的新运算。在证明过程中必须严格区分这两种运算。
* 同构的视角: 这个群 $\langle \mathbb{Q}^+, * \rangle$ 其实与我们熟悉的标准乘法群 $\langle \mathbb{Q}^+, \cdot \rangle$ 是同构的。可以构建一个映射 $\phi(x) = x/2$。
* $\phi(a*b) = \phi(ab/2) = (ab/2)/2 = ab/4$。
* $\phi(a) \cdot \phi(b) = (a/2) \cdot (b/2) = ab/4$。
* 因为 $\phi(a*b) = \phi(a) \cdot \phi(b)$，所以它是同构。
* 在这个同构关系下，标准乘法群的单位元 1 对应到新群的单位元是 $\phi^{-1}(1)$。因为 $\phi(x)=1 \implies x/2=1 \implies x=2$。所以新单位元是 2。
* 标准乘法群中 $a$ 的逆元是 $1/a$。那么新群中 $\phi(a)$ 的逆元就应该是 $\phi(1/a)$。这有点绕。换个角度，在新群中元素 $x$ 对应标准群中的 $x/2$。$x/2$ 在标准群中的逆元是 $2/x$。$2/x$ 对应回新群中的元素是 $\phi^{-1}(2/x)$, 即 $y/2=2/x \implies y=4/x$。所以 $x$ 在新群中的逆元是 $4/x$。这与我们的直接计算结果一致。
本例通过在一个熟悉的集合 $\mathbb{Q}^+$ 上定义一个新颖的运算 $a*b=ab/2$，构建了一个群。
* 结合律通过直接计算得到验证。
* 单位元不再是 1，而是 2。
* 每个元素 $a$ 的逆元不再是其倒数 $1/a$，而是 4/a。
这个例子有力地说明了群的结构是由集合和运算共同决定的，不能想当然地套用旧经验。
1. 强化定义的理解：通过一个非标准的例子，迫使读者回归到最根本的群公理进行逐一检验，而不是依赖于对加法和乘法的直觉。
2. 展示抽象性：这个例子表明，只要满足公理，任何奇怪的运算都可以定义一个群。群的理论不依赖于运算的具体形式，而是其抽象的结构性质。
3. 培养灵活性：让学生适应在不同的代数系统中，单位元和逆元可能会呈现出意想不到的形式。这是进入抽象代数学习所必需的一种思维转变。
想象你在一个“扭曲”的宇宙里。这个宇宙里的“乘法” * 和我们熟悉的乘法 · 不一样，它总是会把结果“缩小一半”。
* 运算: $a * b = (a \cdot b) / 2$。
* 寻找单位元: 我们想找一个“不变”的元素 $e$，使得 $a * e = a$。在这个扭曲的宇宙里，这意味着 $(a \cdot e)/2 = a$。为了抵消掉宇宙自带的“缩小一半”效应，这个不变的元素 $e$ 必须自带“放大两倍”的属性，所以 $e$ 必须是 2。
* 寻找逆元: 我们想找一个 $a$ 的逆元 $a'$，使得它们的作用结果是那个“不变”的元素 2，即 $a * a' = 2$。在这个扭曲的宇宙里，这意味着 $(a \cdot a')/2 = 2$。也就是说，在普通宇宙里，$a \cdot a'$ 的结果必须是 4 才行。因此，$a'$ 必须是 $4/a$。
这个心智模型将新运算看作是旧运算加上一个“系统效应”（除以2），而新的单位元和逆元就是为了“抵消”这个系统效应而作出的相应调整。
想象你在使用一个奇怪的计算器。
这个计算器上有一个特殊的 [] 按钮。当你输入 a [] b 时，计算器内部实际上是计算 (a b) / 2 然后显示结果。
你想找到一个数 e，使得 a [] e 按下等于后，屏幕上显示的还是 a。你很快就会发现，这个 e 必须是 2，因为 a [] 2 会让计算器计算 (a 2) / 2，正好把 /2 的效果抵消了。
然后你想，对于一个数 a，我应该 [] 哪个数 a'，才能让结果显示为单位元 2 呢？即 a [] a' 等于 2。这意味着计算器内部计算的 (a a') / 2 的值是 2。所以 a * a' 必须等于 4。那么 a' 就必须是 4/a。
这个计算器的例子把抽象的运算规则具象化为一个物理设备的行为，有助于理解其内在逻辑。
当我们开始证明关于群的第一个定理时，我们必须使用定义 4.1，这是我们目前对群所了解的唯一信息。第二个定理的证明可以使用定义 4.1和第一个定理；第三个定理的证明可以使用定义和前两个定理，依此类推。
我们的第一个定理将建立消去律。在实数算术中，我们知道如果 $2a=2b$ 则 $a=b$。我们只需将方程 $2a=2b$ 两边除以 2，或者等价地，两边乘以 $\frac{1}{2}$，它是 2 的乘法逆元。我们模仿这个证明来为任何群建立消去律。注意，我们也将使用结合律。
4.15 定理 如果 $G$ 是一个带二元运算 $*$ 的群，那么左消去律和右消去律在 $G$ 中成立，也就是说，对于所有 $a, b, c \in G$，如果 $a * b=a * c$ 则 $b=c$，并且如果 $b * a=c * a$ 则 $b=c$。
证明 假设 $a * b=a * c$。那么根据 $\mathscr{G}_{3}$，存在 $a^{\prime}$，且
根据结合律，
根据 $\mathscr{G}_{3}$ 中 $a^{\prime}$ 的定义，$a^{\prime} * a=e$，所以
根据 $\mathscr{G}_{2}$ 中 $e$ 的定义，
类似地，从 $b * a=c * a$ 可以推导出 $b=c$，方法是在右侧乘以 $a^{\prime}$ 并使用群的公理。
这部分开始从群的定义出发，推导它的基本性质。
1. 证明的逻辑结构
* 作者首先强调了数学证明的“搭积木”特性：第一个定理只能依赖最底层的定义。之后每一个新定理，都可以站在前面所有已证明的定理和定义的“肩膀”上。这是一个层层递进的逻辑构建过程。
2. 引入消去律
* 动机：我们从熟悉的算术中知道，如果 $2a=2b$，我们两边“消掉”2，就能得到 $a=b$。这个操作看似天经地义，但在抽象的群里，它是否还成立？我们需要用群的公理来证明它。
* 核心思想：“消掉” $a$ 的本质操作，并不是真的“划去”，而是给等式两边同时施加一个 $a$ 的“逆操作”，也就是乘以 $a$ 的逆元 $a'$。
* 定理 4.15 (消去律)：
* 左消去律 (Left Cancellation Law): 如果 $a * b = a * c$，那么 $b=c$。（$a$ 在左边，可以消去）
* 右消去律 (Right Cancellation Law): 如果 $b * a = c * a$，那么 $b=c$。（$a$ 在右边，可以消去）
* 注意: 因为群不一定是交换的，所以左消去和右消去是两个独立的定律，需要分别考虑。
3. 证明左消去律 ($a*b=a*c \implies b=c$)
* 第一步：假设前提成立。我们从 $a*b=a*c$ 这个等式出发。
* 第二步：利用逆元的存在性 ($\mathscr{G}_{3}$)。因为 $G$ 是群，所以元素 $a$ 必定有一个逆元 $a'$。我们可以用这个 $a'$ 对等式进行操作。我们将 $a'$ 从左边乘到等式两边（必须是同一边，因为没有交换律）。得到：$a' * (a * b) = a' * (a * c)$。
* 第三步：利用结合律 ($\mathscr{G}_{1}$)。结合律允许我们重新组合运算顺序。
* 左边：$a' * (a * b)$ 变成 $(a' * a) * b$。
* 右边：$a' * (a * c)$ 变成 $(a' * a) * c$。
* 等式变为：$(a' * a) * b = (a' * a) * c$。
* 第四步：利用逆元的定义 ($\mathscr{G}_{3}$)。$a' * a$ 的结果就是单位元 $e$。
* 等式变为：$e * b = e * c$。
* 第五步：利用单位元的定义 ($\mathscr{G}_{2}$)。$e$ 和任何元素运算都等于那个元素本身。
* $e*b=b$ 并且 $e*c=c$。
* 等式最终变为：$b=c$。
* 结论：我们从 $a*b=a*c$ 出发，通过严格应用群的公理，成功推导出了 $b=c$。左消去律得证。
4. 证明右消去律的思路
* 作者没有写出详细步骤，但给出了思路。
* 从 $b*a=c*a$ 出发。
* 这次，我们需要在等式两边右乘 $a$ 的逆元 $a'$。
* 得到 $(b*a)*a' = (c*a)*a'$。
* 利用结合律：$b*(a*a') = c*(a*a')$。
* 利用逆元定义：$b*e = c*e$。
* 利用单位元定义：$b=c$。
* 右消去律也得证。
左消去律证明链
1. $a * b = a * c$ (假设)
2. $\exists a' \in G$ s.t. $a' * a = a * a' = e$ (公理 $\mathscr{G}_{3}$)
3. $a' * (a * b) = a' * (a * c)$ (在等式(1)两边同时左乘 $a'$)
4. $(a' * a) * b = (a' * a) * c$ (对(3)两边应用结合律, 公理 $\mathscr{G}_{1}$)
5. $e * b = e * c$ (将(4)中的 $a'*a$ 替换为单位元 $e$, 根据(2))
6. $b = c$ (对(5)应用单位元的性质, 公理 $\mathscr{G}_{2}$)
右消去律证明链
1. $b * a = c * a$ (假设)
2. $\exists a' \in G$ s.t. $a' * a = a * a' = e$ (公理 $\mathscr{G}_{3}$)
3. $(b * a) * a' = (c * a) * a'$ (在等式(1)两边同时右乘 $a'$)
4. $b * (a * a') = c * (a * a')$ (对(3)两边应用结合律, 公理 $\mathscr{G}_{1}$)
5. $b * e = c * e$ (将(4)中的 $a*a'$ 替换为单位元 $e$, 根据(2))
6. $b = c$ (对(5)应用单位元的性质, 公理 $\mathscr{G}_{2}$)
* 在 $GL(2, \mathbb{R})$ (非阿贝尔群) 中验证左消去律:
* 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。显然 $B=C$。
* 我们来计算 $A*B$ 和 $A*C$。
* $A*B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
* $A*C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
* 我们有 $A*B = A*C$。现在我们用证明中的方法来“消去”A。
* $A$ 的逆元是 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
* 在 $A*B = A*C$ 两边左乘 $A^{-1}$:
$A^{-1}(AB) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = B$。
$A^{-1}(AC) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = C$。
* 最终我们得到了 $B=C$。这在具体例子中验证了消去律的有效性。
* 不能交叉消去：如果 $a*b = c*a$，你不能消去 $a$ 得到 $b=c$。因为群不一定满足交换律，你无法把其中一个 $a$ “挪”到另一边去配对。
* 消去的元素必须完全相同：$a*b = d*c$ 没有任何可以消去的东西。
* 必须是群：消去律的证明依赖于逆元的存在。在一个不构成群的代数结构（比如含0的整数乘法）中，消去律不一定成立。例如，在整数乘法中，$0 \cdot 5 = 0 \cdot 3$，但我们不能消去 0 得到 $5=3$。这是因为 0 没有乘法逆元。
本节证明了所有群都必须满足消去律。
* 左消去律: $a*b=a*c \implies b=c$
* 右消去律: $b*a=c*a \implies b=c$
这个定律的证明是群论基本证明手法的绝佳范例，它完全依赖于三条基本公理：逆元的存在性（用来构造“消去”工具 $a'$）、结合律（用来移动括号，让 $a'$ 和 $a$ 相遇）和单位元（用来处理 $a'*a$ 的结果 $e$）。
1. 展示群公理的力量：这是第一次，我们仅凭三条抽象的公理，就推导出了一个非平凡且非常有用的性质。这让学生初次感受到公理化方法的威力。
2. 为后续定理铺路：消去律是许多其他定理证明的基础。例如，它可以用来证明群中单位元和逆元的唯一性（虽然有更直接的证法），以及证明群的运算表中每一行每一列都没有重复元素。
3. 规范代数操作：它告诉我们在群这个代数系统里，什么样的“化简”是合法的。这为在群中进行代数运算提供了基本法则。
把群运算想象成一系列的“变换”或“动作”。
* $a*b = a*c$ 意味着：“先做 a 动作，再做 b 动作”的效果，和“先做 a 动作，再做 c 动作”的效果是一样的。
* 证明过程 $a'*(a*b) = a'*(a*c)$ 意味着：我们在这两种相同的效果之前，都先做一个 a 的“撤销动作” $a'$。
* $(a'*a)*b = (a'*a)*c$ 意味着：先做 a 再撤销 a，等于“什么都没做”（单位元e）。
* $e*b = e*c$ 就变成了：“什么都不做，再做 b 动作” 和 “什么都不做，再做 c 动作” 效果一样。
* $b=c$ 这显然说明 b 动作和 c 动作本身就是同一个动作。
这个模型将代数证明翻译成了一系列关于“动作”和“效果”的常识性推理，使其更易于理解。
想象你在一条没有岔路的单行道上。
* $a, b, c$ 是三段路程。
* $a*b = a*c$ 意味着：从起点开始，走完 a 路段再走完 b 路段，最终到达的位置，和走完 a 路段再走完 c 路段到达的位置是同一个终点。
* 因为是在一条没有岔路的单行道上，如果你们的起点（走完a之后的位置）相同，终点也相同，那么你们接下来走过的路程（b和c）必然是完全一样的。
* 左乘逆元 $a'$ 就好比大家一起“倒车”回到最初的起点。如果从最初的起点出发，走 b 和走 c 能到达同一个位置，那 b 和 c 必然是相等的路程。
这个想象虽然简单，但抓住了消去律的核心：在确定的、无歧义的运算（没有岔路）下，相同的“输入”必然产生相同的“输出”。
我们的下一个证明可以使用定理 4.15。我们证明群中的“线性方程”具有唯一解。回想一下，我们选择群的性质是为了使我们能够找到这些方程的解。
4.16 定理 如果 $G$ 是一个带二元运算 $*$ 的群，并且 $a$ 和 $b$ 是 $G$ 的任意元素，那么线性方程 $a * x=b$ 和 $y * a=b$ 在 $G$ 中具有唯一的解 $x$ 和 $y$。
证明 首先我们通过计算 $a^{\prime} * b$ 是 $a * x=b$ 的一个解来证明至少存在一个解。注意
因此 $x=a^{\prime} * b$ 是 $a * x=b$ 的一个解。类似地，$y=b * a^{\prime}$ 是 $y * a=b$ 的一个解。
为了证明 $y$ 的唯一性，我们使用标准方法，假设我们有两个解 $y_1$ 和 $y_2$，使得 $y_1 * a=b$ 和 $y_2 * a=b$。那么 $y_1 * a=y_2 * a$，根据定理 4.15，$y_1=y_2$。$x$ 的唯一性类似地得出。
当然，为了证明上一个定理中的唯一性，我们可以遵循我们在引入群定义时使用的过程，证明如果 $a * x=b$，那么 $x=a^{\prime} * b$。然而，我们选择说明证明对象唯一的标准方法：即假设您有两个这样的对象，然后证明它们必须相同。注意，解 $x=a^{\prime} * b$ 和 $y=b * a^{\prime}$ 不一定相同，除非 $*$ 是可交换的。
本节证明了群的一个核心功能：它保证了内部的线性方程总是有解，并且解是唯一的。这呼应了本章开头引入群的动机。
* 定理 4.16 (线性方程解的存在性和唯一性)
* 内容: 在一个群 G 中，对于任意给定的 a 和 b：
1. 方程 a * x = b (x在右) 有一个唯一的解。
2. 方程 y * a = b (y在左) 也有一个唯一的解。
* 这个定理包含两部分：存在性 (至少有一个解) 和 唯一性 (最多有一个解)。合起来就是“有且仅有一个解”。
* 证明过程 (分为两部分)
1. 证明存在性 (Existence)
* 目标: 我们需要实际地“构造”出一个解，并验证它确实是解。
对于方程 a x = b:
* 我们猜测解可能是 $x = a' * b$ (其中 $a'$ 是 $a$ 的逆元)。这个猜测来自于引言中的推导。
* 验证: 将 $x = a' * b$ 代入方程的左边 $a*x$ 中：
* $a * (a' * b)$
* $= (a * a') * b$ (根据结合律)
* $= e * b$ (根据逆元的定义)
* $= b$ (根据单位元的定义)
* 代入后，左边 $a*x$ 的结果恰好等于右边的 $b$。这证明了 $x = a' * b$ 确实是一个解。
对于方程 y a = b:
* 类似地，我们猜测解是 $y = b * a'$。
* 验证: 将其代入 $y*a$ 中：
* $(b * a') * a = b * (a' * a) = b * e = b$。
* 这也证明了 $y = b * a'$ 确实是一个解。
* 至此，我们证明了解是存在的。
2. 证明唯一性 (Uniqueness)
* 目标: 证明不可能有两个或更多的不同解。
* 方法: 这是证明唯一性的标准技巧——反证法的变体。我们假设存在两个解，然后证明这两个解必须是相等的。
对于方程 y a = b:
* 假设 $y_1$ 和 $y_2$ 都是解。这意味着它们都满足方程：
* $y_1 * a = b$
* $y_2 * a = b$
* 因此，我们可以得到 $y_1 * a = y_2 * a$。
* 现在，我们可以应用刚刚证明的定理 4.15 (右消去律)。从 $y_1 * a = y_2 * a$ 两边“消去” $a$，直接得到 $y_1 = y_2$。
* 这就证明了，任何两个解都必然是相同的，所以解是唯一的。
对于方程 a x = b:
* 同样地，假设 $x_1, x_2$ 是两个解，则 $a*x_1 = b$ 且 $a*x_2 = b$。
* 所以 $a * x_1 = a * x_2$。
* 应用左消去律，得到 $x_1 = x_2$。解也是唯一的。
* 对唯一性证明方法的讨论
* 作者指出，证明唯一性还有另一种方法：从方程 $a*x=b$ 出发，通过一系列推导（即引言中的过程），直接得出 $x$ 必须等于 $a' * b$。这表明任何解都必须是这个形式，因此解是唯一的。
* 但作者在这里选用了“假设有两个解，再证明它们相等”的方法，因为它是一个更通用、更标准的证明唯一性的范式。
* 关于解的形式
* 作者最后特别提醒，解 $x = a' * b$ 和 $y = b * a'$ 通常是不同的，除非群是阿贝尔群（可交换的）。这是因为在非阿贝尔群中，运算的顺序至关重要。
* 方程 1: $a * x = b$
* 解的存在性证明:
* 构造解: $x_{sol} = a' * b$
* 验证: $a * x_{sol} = a * (a' * b) \stackrel{\text{assoc.}}{=} (a * a') * b \stackrel{\text{inv.}}{=} e * b \stackrel{\text{id.}}{=} b$。验证成功。
* 解的唯一性证明:
* 假设 $x_1, x_2$ 都是解, 则 $a*x_1=b$ 且 $a*x_2=b$。
* $\implies a*x_1 = a*x_2$
* $\implies x_1 = x_2$ (根据左消去律)
* 方程 2: $y * a = b$
* 解的存在性证明:
* 构造解: $y_{sol} = b * a'$
* 验证: $y_{sol} * a = (b * a') * a \stackrel{\text{assoc.}}{=} b * (a' * a) \stackrel{\text{inv.}}{=} b * e \stackrel{\text{id.}}{=} b$。验证成功。
* 解的唯一性证明:
* 假设 $y_1, y_2$ 都是解, 则 $y_1*a=b$ 且 $y_2*a=b$。
* $\implies y_1*a = y_2*a$
* $\implies y_1 = y_2$ (根据右消去律)
* 在 GL(2, R) (非阿贝尔群) 中解方程
* 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
* $A$ 的逆元是 $A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
* 解方程 $A * X = B$:
* 解是 $X = A' * B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
* 验证: $A * X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = B$。正确。
* 解方程 $Y * A = B$:
* 解是 $Y = B * A' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。
* 验证: $Y * A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = B$。正确。
* 观察: 解 $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 和解 $Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 是不相等的。这具体地展示了在非阿贝尔群中， $a'*b$ 和 $b*a'$ 是不同的。
* 解的形式：在非阿贝尔群中，必须严格区分方程是 $a*x=b$还是 $y*a=b$。
* 对于 $a*x=b$，解是 $x=a'*b$ (逆元在左边)。
* 对于 $y*a=b$，解是 $y=b*a'$ (逆元在右边)。
* 顺序写反会导致解错误。
* 证明的两个部分：一个完整的“唯一解”证明，必须包含存在性和唯一性两部分，缺一不可。只证明了解的形式是 $a'*b$ 并不能保证 $a'*b$ 代回去就一定成立（虽然在群里可以），只验证 $a'*b$ 是解也不能排除还有其他解的可能。
本节证明了群的一个根本性质：在群中，任何形式为 $a*x=b$ 或 $y*a=b$ 的线性方程，总是有且仅有一个解。
* 解的存在性是通过直接构造出解 ($a'*b$ 或 $b*a'$) 并验证其有效性来证明的。
* 解的唯一性是通过假设存在两个解，然后利用消去律证明这两个解必然相等来证明的。
这个定理完美地回应了本章开头的动机，说明群这种代数结构，就是为了保证这类基本方程的“可解性”和“确定性”而设计的。
1. 实现最初的目标：本章开篇就以“解线性方程”为引子，本定理就是对这个引子的正式回应和承诺兑现。它确立了群作为一个代数系统的基本功能和可靠性。
2. 展示定理的应用：这个证明首次使用了上一个定理（消去律），展示了数学知识的递进和构建过程。
3. 引出重要的计算：解的形式 $x=a'*b$ 和 $y=b*a'$ 是群论中最基本的计算之一。在具体的群中解决问题时，会反复用到这种计算。
把群想象成一个完美的导航系统。
* a, b, x, y 都是地点或位移。
* 方程 $a*x=b$ 问的是：“我从原点出发，先走了一段位移 a，再走一段未知的位移 x，最后到达了 b 点。请问 x 是什么位移？”
解的存在性 (x = a'b)：导航系统告诉你，要算出 x，你可以先执行 a 的反向位移 a' 回到原点，然后再执行位移 b。这个操作序列 a'*b 绝对能把你带到正确的地方。这保证了总能找到路。
* 解的唯一性：从 a 点到 b 点的直接位移只有一种。不可能有两条不同的路径 x1 和 x2 都能精确地完成这个任务。这保证了路只有一条。
想象解一个魔方。
* b 是一个打乱的状态。 a 是你做错的一步操作。 x 是你接下来需要做的修正操作，以达到目标状态 b。
* 方程 $a*x=b$ 就代表：你先做错了操作 a，然后做了修正操作 x，最终魔方达到了 b 状态。
* 解的存在性：解是 $x=a'*b$。这告诉你修正操作 x 应该是什么：先做一个 a 的“撤销”操作 a'，这会把魔方恢复到你做错 a 之前的状态；然后再从那个状态，执行一个能直接达到 b 的操作序列。
* 解的唯一性：从你做错 a 之后的状态，要达到 b 状态，所需要的最短操作序列是唯一的（在某种意义上）。这保证了你的“修正步骤”是确定无疑的。
因为群是一种特殊的二元结构，我们从定理 3.13 中知道群中的单位元 $e$ 是唯一的。我们将其作为下一个定理的一部分再次声明，以便于查阅。
4.17 定理 在带二元运算 $*$ 的群 $G$ 中，只有一个元素 $e \in G$ 使得
对于所有 $x \in G$ 都成立。同样，对于每个 $a \in G$，只有一个元素 $a^{\prime} \in G$ 使得
总而言之，群中的单位元和每个元素的逆元都是唯一的。
证明 定理 3.13 表明任何二元结构的单位元都是唯一的。为了证明这一点，不需要使用群公理。
关于逆元的唯一性，假设 $a \in G$ 具有逆元 $a^{\prime}$ 和 $a^{\prime \prime}$，使得 $a^{\prime} * a=a * a^{\prime}=e$ 和 $a^{\prime \prime} * a=a * a^{\prime \prime}=e$。那么
并且，根据定理 4.15，
因此群中 $a$ 的逆元是唯一的。
注意，在群 $G$ 中，我们有
这个方程和定理 4.17 表明 $b^{\prime} * a^{\prime}$ 是 $a * b$ 的唯一逆元。也就是说，$(a * b)^{\prime}=b^{\prime} * a^{\prime}$。我们将其作为推论。
4.18 推论 设 $G$ 是一个群。对于所有 $a, b \in G$，我们有 $(a * b)^{\prime}=b^{\prime} * a^{\prime}$。
本节证明了群中另外两个基本但至关重要的性质：单位元只有一个，并且每个元素的逆元也只有一个。
1. 定理 4.17 (单位元和逆元的唯一性)
单位元唯一性: 在一个群中，满足 ex = x*e = x 的元素 e 是独一无二的。不可能有两个不同的元素同时扮演单位元角色。
逆元唯一性: 对于群中的每一个元素 a，满足 a'a = a*a' = e 的逆元 a' 也是独一无二的。a 不可能有多个不同的逆元。
2. 证明单位元的唯一性
* 作者在这里直接引用了前面章节（定理 3.13）的结论，即在任何具有单位元的二元结构中，单位元都是唯一的。
* 独立的证明方法：
* 假设 e 和 f 都是群 G 的单位元。
因为 e 是单位元，所以 e f = f。
因为 f 是单位元，所以 e f = e。
将两个等式合起来，我们得到 e = e f = f。
* 所以 e = f。这证明了任何两个单位元都必然是同一个，所以单位元是唯一的。
* 这个证明非常简洁，只用到了单位元的定义本身。
3. 证明逆元的唯一性
* 这里作者给出了详细的证明，并且巧妙地运用了刚证明的消去律 (定理 4.15)。
* 方法: 同样采用证明唯一性的标准技巧。
* 步骤:
* 假设元素 a 有两个逆元，分别叫 $a'$ 和 $a''$。
* 根据逆元的定义，它们都满足：
* $a' * a = a * a' = e$
* $a'' * a = a * a'' = e$
* 从 $a * a' = e$ 和 $a * a'' = e$ 中，我们可以得到等式 $a * a' = a * a''$。
* 现在，这个等式的形式是 $a*b=a*c$。我们可以应用左消去律。
* 两边消去 a，直接得到 $a' = a''$。
* 这证明了 a 的任意两个逆元都必然是同一个，所以 a 的逆元是唯一的。
* 另一种证明方法 (不使用消去律):
* 从 $a' = a' * e$ 出发 (单位元性质)。
* 将 $e$ 替换为 $a * a''$: $a' = a' * (a * a'')$。
* 应用结合律: $a' = (a' * a) * a''$。
* 将 $a'*a$ 替换为 $e$: $a' = e * a''$。
* 应用单位元性质: $a' = a''$。
* 这个证法更基本，只依赖群公理，但稍长一些。
4. 推论 4.18 (乘积的逆元)
* 在证明了逆元的唯一性之后，作者立即推导出了一个非常有用的公式：如何求两个元素乘积的逆元。
* 公式: $(a * b)' = b' * a'$
* 含义: a 和 b 的乘积的逆元，等于 b 的逆元与 a 的逆元反序相乘。
* 证明思路:
根据逆元唯一性，只要我们能证明 b' a' 是 ab 的一个逆元，那么它就必须是 ab 那个唯一的逆元。
* 验证: 我们来计算 $(a*b) * (b' * a')$：
* $(a * b) * (b' * a')$
* $= a * (b * b') * a'$ (应用结合律，把括号移到中间)
* $= a * e * a'$ (根据逆元定义, $b*b'=e$)
* $= (a * e) * a'$ (应用结合律)
* $= a * a'$ (根据单位元定义, $a*e=a$)
* $= e$ (根据逆元定义)
* 我们已经证明了 $(a*b) * (b' * a') = e$。类似地可以证明 $(b'*a')*(a*b)=e$。
因此，b' a' 确实是 a*b 的逆元。根据逆元的唯一性，我们可以写下 $(a * b)' = b' * a'$。
* 逆元唯一性证明:
* $a' * a = e$ (假设 $a'$ 是 $a$ 的逆元)
* $a'' * a = e$ (假设 $a''$ 也是 $a$ 的逆元)
* $a' * a = a'' * a$ (因为它们都等于 $e$)
* $a' = a''$ (根据右消去律)。
* 或者从 $a * a' = e$ 和 $a * a'' = e$ 开始，用左消去律，同样可得 $a'=a''$。
* 推论 $(a * b)^{\prime}=b^{\prime} * a^{\prime}$ 的证明:
* 目标是证明 $b' * a'$ 是 $(a * b)$ 的逆元。
* 我们需要验证两件事：
1. $(a * b) * (b' * a') = e$
2. $(b' * a') * (a * b) = e$
* 原文中给出了第一件的证明。我们来完成第二件：
* $(b' * a') * (a * b) = b' * (a' * a) * b$ (结合律)
* $= b' * e * b$ (逆元定义)
* $= b' * b$ (单位元定义)
* $= e$ (逆元定义)
* 由于 $b' * a'$ 满足作为 $(a*b)$ 的逆元的全部条件，而逆元是唯一的，所以它就是 $(a*b)$ 的逆元。
* 在 $GL(2, R)$ 中验证推论:
* 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
* 我们知道 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
* $A*B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
* 我们来计算 $(A*B)^{-1}$。对于 $2 \times 2$ 矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆为 $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。
* $(A*B)^{-1} = \frac{1}{2-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。
* 现在我们计算 $B^{-1} * A^{-1}$：
* $B^{-1} * A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。
* 两者结果完全相同，验证了 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
* 注意，如果我们算成 $A^{-1}B^{-1}$：
$A^{-1} * B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。
* 这个结果是错误的，再次说明了顺序的重要性。
* 顺序！顺序！顺序！：推论 $(a * b)' = b' * a'$ 最容易出错的地方就是忘记颠倒顺序。这个性质也被称为反序律。
* 唯一性的重要性：逆元的唯一性是这个推论能够成立的逻辑基础。正是因为“逆元”这个身份是被唯一确定的，我们才能通过“扮演”这个身份来证明等式。
* 对多个元素的推广：这个推论可以推广到多个元素的乘积，例如 $(a*b*c)' = c' * b' * a'$。顺序总是完全颠倒。
本节确立了群中两个核心的唯一性：
1. 定理 4.17：单位元是唯一的，每个元素的逆元也是唯一的。
2. 推论 4.18：基于逆元的唯一性，推导出了一个重要的计算法则——反序律：$(a * b)' = b' * a'$。
这两个结论极大地简化了群的结构，保证了其内部的“确定性”。
1. 夯实基础：唯一性是任何代数对象的基本优良性质。如果单位元或逆元不唯一，会给代数运算带来巨大的混乱和不确定性。证明唯一性是构建可靠理论体系的必要步骤。
2. 提供计算工具：推论 $(a*b)'=b'*a'$ 是一个在群论计算中无处不在的实用公式。提前证明它，为后续的计算和证明提供了便利。
3. 再次展示证明技巧：本节的证明（特别是逆元唯一性的证明）是学习抽象代数证明方法的又一个经典范例，包括“假设存在两个，再证其相等”的技巧，以及如何利用已知定理（消去律）来简化新证明。
* 唯一性：
* 单位元唯一：在一个国家，不可能有两个合法的国王。
* 逆元唯一：对于一把特定的锁，只有一把钥匙是完美匹配的。
* 反序律 $(a*b)' = b'*a'$：
* 这个模型非常经典：你早上先穿上袜子 (a)，再穿上鞋子 (b)。
* 晚上回家，你要撤销这个过程。你必须先脱掉鞋子 (b')，再脱掉袜子 (a')。
* 你不可能先脱袜子再脱鞋。
* 所以，“穿袜子再穿鞋”这个组合动作的逆过程，是“脱鞋再脱袜子”。这完美地诠释了 $(a*b)' = b'*a'$。
* 单位元唯一性：想象在宇宙中寻找“绝对静止”的点。如果你找到了两个点 A 和 B 都声称自己是“绝对静止”的。那么 A 看 B，B 应该是静止的；B 看 A，A 也应该是静止的。这意味着 A 和 B 之间没有相对运动，它们其实是同一个点。
* 逆元唯一性：你有一个魔方状态 A，你想找到一个操作序列能把它变回原始状态 E。假设你找到了两个不同的操作序列 $A'$ 和 $A''$ 都能做到。那么 $A$ 之后接 $A'$ 和 $A$ 之后接 $A''$ 效果是一样的（都回到了 E）。根据消去律，这意味着 $A'$ 和 $A''$ 本身就是等效的，是同一个操作。
* 反序律：你录制了一段视频，内容是：先播放音乐A，然后屏幕上出现画面B。现在你想“倒放”这段视频。倒放的效果是：屏幕上的画面B先消失，然后音乐A停止。操作的顺序被颠倒了。
作为信息，我们指出，比群的公理弱的二元代数结构也已被广泛研究。在这些较弱的结构中，半群（一个带有结合二元运算的集合）可能受到了最多的关注。幺半群是一个具有二元运算的单位元的半群。注意，每个群既是半群又是幺半群。
最后，可以给出群 $\langle G, *\rangle$ 的公理，它们乍一看似乎更弱，即：
1. $G$ 上的二元运算 $*$ 是结合的。
2. 在 $G$ 中存在一个左单位元 $e$，使得对于所有 $x \in G$，都有 $e * x=x$。
3. 对于 $G$ 中的每个 $a$，在 $G$ 中存在一个左逆元 $a^{\prime}$，使得 $a^{\prime} * a=e$。
从这个单边定义，可以证明左单位元也是右单位元，并且左逆元也是相同元素的右逆元。因此，这些公理不应被称为较弱，因为它们导致被称作群的结构完全相同。可以想象，在某些情况下检查这些左公理可能比检查我们的双边公理更容易。当然，通过对称性可以清楚地看出，也存在群的右公理。
这一节讨论了与群相关的、定义上更“弱”或看起来更“弱”的代数结构。
1. 比群更弱的结构 (Weaker Structures)
* 群的公理是很强的，同时满足所有公理的对象性质非常丰富。如果我们只要求对象满足部分公理，会得到一些更“弱”（即更一般，性质更少）的结构。
* 半群 (Semigroup):
* 定义: 只满足封闭性和结合律的二元结构。
* 它有结合律，但可能没有单位元，也没有逆元。
* 例子: 正整数加法 $\langle \mathbb{Z}^+, + \rangle$ 是一个半群。
* 幺半群 (Monoid):
* 定义: 一个有单位元的半群。也就是说，它满足封闭性、结合律和单位元存在性。
* 它比半群强，但比群弱，因为它不要求每个元素都有逆元。
* 例子: 非负整数加法 $\langle \{0,1,2,...\}, + \rangle$ 是一个幺半群（单位元是0，但正整数没有逆元）。自然数乘法 $\langle \mathbb{N}, \cdot \rangle$ 也是一个幺半群（单位元是1，但除了1之外没有元素有逆元）。
* 层级关系: 群 $\subset$ 幺半群 $\subset$ 半群。也就是说，所有的群都是幺半群，所有的幺半群都是半群。
2. 群的“单边”公理 (One-sided Axioms)
* 问题: 我们之前定义的群公理 $\mathscr{G}_2$ 和 $\mathscr{G}_3$ 都是“双边”的，即要求单位元和逆元从左边和右边作用时都有效 ($e*x=x*e=x$, $a'*a=a*a'=e$)。有没有可能简化这个定义？
* 一个看似更弱的定义: 作者提出了一个只使用“左性质”的定义：
1. 结合律: $(a*b)*c = a*(b*c)$ (这本身就是双边的)
2. 左单位元: 存在一个 $e$，对所有 $x$ 都有 $e*x=x$。
3. 左逆元: 对每个 $a$，都存在一个 $a'$，使得 $a'*a=e$ (这里的 $e$ 是上面那个左单位元)。
* 惊人的结论: 作者指出，从这三条“单边”公理出发，通过一系列推导，可以证明出：
* 这个左单位元 $e$ 也必须是一个右单位元 (即 $x*e=x$ 也成立)。
* 对于每个 $a$，它的那个左逆元 $a'$ 也必须是一个右逆元 (即 $a*a'=e$ 也成立)。
* 意义: 这意味着，这个“单边定义”和我们之前的“双边定义”是完全等价的！它们最终描述的是同一种代数结构——群。所以，“单边公理”只是看起来弱，实际上并不弱。
* 优点: 在某些情况下，要验证一个结构是不是群，可能验证这三条单边公理比验证双边公理要容易一些。
* 对称性: 既然有“左公理”版本，那么对称地，也存在一个“右公理”版本（即只要求右单位元和右逆元），它同样可以定义群。
* 半群的例子: 字符串集合与拼接运算。
* 集合: 所有可能的字符串，如 {"a", "b", "hello", "world", ...}。
* 运算: 字符串拼接 +。
* 封闭性: "hello" + "world" = "helloworld"，结果还是字符串。满足。
* 结合律: ("a"+"b")+"c" = "ab"+"c" = "abc"；"a"+("b"+"c") = "a"+"bc" = "abc"。满足。
* 单位元: 存在一个空字符串 ""，满足 s + "" = "" + s = s。所以它其实是一个幺半群。
* 逆元: 对于字符串 "hello"，不存在一个字符串 s 使得 s + "hello" = ""。所以它不是群。
* 幺半群的例子:
* 所有 $n \times n$ 矩阵在矩阵乘法下，是一个幺半群。它满足封闭性和结合律，并且有单位元 $I_n$。但它不是群，因为不是所有矩阵都有逆元。
* 弱不等于不等价: "看似更弱的公理" 并不意味着它定义的范畴更广。在这个特定的例子里，单边公理和双边公理是等价的。
* 证明的必要性: "单边公理可以推出双边性质" 这个结论不是显然的，它需要一个不平凡的证明（课本在这里省略了证明过程，但这是一个很好的练习题）。不能想当然地认为左性质成立，右性质就自动成立。
* 混合公理可能不行: 如果你混合使用公理，比如要求存在左单位元和右逆元，那么这组公理不能定义一个群。它会定义出一种更奇怪的、性质不那么好的结构。
本节讨论了群定义的两个方面：
1. 相关概念: 介绍了比群更“弱”（更一般）的半群（只有结合律）和幺半群（结合律+单位元）。明确了群、幺半群、半群之间的层级关系。
2. 等价定义: 指出了群的定义可以由一组看似更弱的“单边公理”（例如，只要求左单位元和左逆元）给出。但这组单边公理的效力与双边公理完全等价，它们都定义了完全相同的“群”这个概念。
1. 提供上下文: 将群置于更广阔的代数结构谱系（半群、幺半群等）中，有助于学生理解群的特殊性和它在代数世界中的位置。
2. 深化对定义的理解: 探讨定义的等价形式，是数学中一个常见的主题。这表明一个深刻的数学概念，往往可以从不同角度去刻画。了解这些等价定义，可以增强对概念本质的理解，并可能在解决问题时提供更多灵活性。
3. 培养严谨的数学思维: “看似更弱但实际上等价”这一现象，本身就是对学生思维的一次挑战和训练。它强调了在数学中，直觉需要被严格的证明所检验和支撑。
* 半群：一个只有“交通规则”（结合律）但没有“目的地”（单位元）也没有“回头路”（逆元）的交通系统。
* 幺半群：一个有“交通规则”（结合律）和唯一的“中心广场”（单位元）的城市，但从某些地方出去后可能就回不来了（没有逆元）。
* 群：一个有“交通规则”、“中心广场”，并且每条路都有“回头路”的完美交通网络。
* 单边公理：你发现一个城市的交通网络，只知道每条路都是“左转弯规则”（结合律），有一个所有道路都可以通过左转到达的“左中心广场”（左单位元），并且从任何地方出发总有办法通过一系列左转回到这个“左中心广场”（左逆元）。通过仔细研究地图，你最终会惊讶地发现，这个网络实际上也是完全对称的，所有右转弯规则也都成立，那个广场对于右转来说也是中心，而且也总有办法通过右转回到广场。
想象你在玩一个解谜游戏，要打开一扇密码门。
* 群的定义：说明书上说，你需要满足4个条件才能打开门。
* 幺半群：你只满足了前3个条件，门可能会开一条缝，但打不开。
* 群的单边公理：你找到了一本“黑客手册”，上面说只需要满足另外3个看起来更简单的条件，门就能打开。你试了一下，发现门真的开了。这说明“黑客手册”里的条件和原始说明书里的条件，对于“打开门”这个结果来说，是等价的。
例 4.2 之后的所有例子都是无限群，即集合 $G$ 具有无限个元素的群。我们转向有限群，从最小的有限集合开始。
由于一个群必须至少有一个元素，即单位元，所以可能产生群的最小集合是一个单元素集合 $\{e\}$。在 $\{e\}$ 上唯一可能的二元运算 $*$ 定义为 $e * e=e$。这三个群公理都成立。单位元在每个群中总是它自己的逆元。
让我们尝试在一个包含两个元素的集合上构建群结构。由于其中一个元素必须扮演单位元的角色，我们不妨设这个集合为 $\{e, a\}$。让我们尝试为 $\{e, a\}$ 上的二元运算 $*$ 找到一个表，使得它在 $\{e, a\}$ 上形成群结构。在给出群运算的表时，我们总是将单位元放在第一位，如下表所示。
| $*$ | $e$ | $a$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $e$ | | |
| $a$ | | |
由于 $e$ 将是单位元，所以
对于所有 $x \in\{e, a\}$ 都成立，如果 $*$ 要形成一个群，我们被迫按如下方式填充表格：
| $*$ | $e$ | $a$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $e$ | $e$ | $a$ |
| $a$ | $a$ | |
此外，$a$ 必须有一个逆元 $a^{\prime}$，使得
在我们的例子中，$a^{\prime}$ 必须是 $e$ 或 $a$。由于 $a^{\prime}=e$ 显然不成立，我们必须有 $a^{\prime}=a$，所以我们必须按如下方式完成表格：
| $*$ | $e$ | $a$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $e$ | $e$ | $a$ |
| $a$ | $a$ | $e$ |
现在所有的群公理都得到了满足，除了结合律可能没有。从定义运算的表中逐个检查结合律可能是一个非常繁琐的过程。然而，我们知道 $\mathbb{Z}_{2}=\{0,1\}$ 在模 2 加法下是一个群，根据我们的论证，它的表必须是上面那个将 $e$ 替换为 0，$a$ 替换为 1 的表。因此，包含 $e$ 和 $a$ 的表必须满足结合律。
这一节开始探讨有限群，即元素个数是有限的群。作者采用了一种构造性的方法，从最简单的群（最小的元素个数）开始，尝试构建它们的运算表（也叫凯莱表 Cayley Table）。
1. 从无限到有限
* 之前讨论的很多例子，如 $\langle \mathbb{Z},+\rangle, \langle \mathbb{R}^*,\cdot \rangle$，都是无限群。现在焦点转向有限群。
2. 阶为 1 的群 (Order 1 Group)
* 最小的群: 一个群至少要有一个元素——单位元 e。所以最小的可能集合是 {e}。
运算: 这个集合上只有一种可能的二元运算：e e = e。
* 验证公理:
* 封闭性: 结果 e 仍在集合中。满足。
结合律: (ee)e = ee = e 和 e(ee) = e*e = e。满足。
单位元: e 就是单位元，ee=e。满足。
逆元: e 的逆元是 e 自己，因为 ee=e。满足。
* 结论: 任何只有一个元素的群都是这个结构，它被称为平凡群 (Trivial Group)。
3. 阶为 2 的群 (Order 2 Group)
* 目标: 在一个有两个元素的集合上构建群结构。
* 集合: 不失一般性，我们把这两个元素命名为 {e, a}，并规定 e 为单位元。
* 构造运算表: 运算表是一个方格表，行和列分别是群的元素，格子里的内容是对应行列元素运算的结果。
* 第一步：利用单位元性质填表
根据单位元的定义 ex = x 和 x*e = x，我们可以立即填上第一行和第一列。
ee=e, e*a=a
ae=a
* 表格变成：
| * | e | a |
|---|---|---|
| e | e | a |
| a | a | ? |
* 第二步：利用逆元性质填剩下的格子
现在只剩下 aa 这个格子没填。
* 群公理要求每个元素都必须有逆元。我们来找 a 的逆元 a'。a' 必须是集合 {e, a} 中的一员。
可能性1: a' 是 e。这意味着 ae=e。但这与单位元性质 a*e=a 矛盾（除非a=e，但这与集合有两个元素矛盾）。所以 a 的逆元不可能是 e。
可能性2: a' 必须是 a。这意味着 a 是自己的逆元，即 a a = e。
这是唯一剩下的可能。我们被迫填上 aa=e。
* 最终表格：
| * | e | a |
|---|---|---|
| e | e | a |
| a | a | e |
* 第三步：检验结合律
* 到目前为止，我们只用了单位元和逆元的公理。结合律还没有被检验。
直接在表上逐一验证所有组合 (xy)z = x(y*z) 会非常麻烦（有 $2^3=8$ 种组合要验）。
* 作者用了一个聪明的办法：类比。我们已经知道一个具体的2阶群：模2加法群 ⟨ℤ₂, +₂⟩，其中 ℤ₂ = {0, 1}。它的运算表是：
| +₂ | 0 | 1 |
|----|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
* 这个 ℤ₂ 的表，和我们上面推导出的 {e, a} 的表，在结构上是完全一样的（只要把 e 对应到 0，a 对应到 1）。
* 既然 ⟨ℤ₂, +₂⟩ 是一个群，那它的运算必然满足结合律。由于我们的表和它的表是同构的，所以我们的表所定义的运算也必然满足结合律。
* 结论: 任何含有两个元素的群，其结构必然如上表所示。换句话说，所有阶为2的群都是同构的。
* 群表/凯莱表 (Cayley Table):
* 一个 $n \times n$ 的方阵，用于表示一个有 $n$ 个元素的有限群的二元运算。
* 第 $i$ 行和第 $j$ 列交叉处的元素，是第 $i$ 个元素与第 $j$ 个元素运算的结果。
即 Table[i, j] = element[i] element[j]。
* $e*x=x*e=x$:
* 在群表中，这意味着：
* e 所在的那一行，内容与表头完全相同。
* e 所在的那一列，内容与行头完全相同。
* $a*a'=a'*a=e$:
* 在群表中，这意味着：
* 在 a 所在的那一行中，必须出现 e。出现 e 的那一列的表头元素，就是 a 的右逆元。
* 在 a 所在的那一列中，也必须出现 e。出现 e 的那一行的行头元素，就是 a 的左逆元。
* 1阶群:
* $\langle \{0\}, +_1 \rangle$ (模1加法)。$0+0=0$。
* $\langle \{1\}, \cdot \rangle$ (普通乘法)。$1 \cdot 1=1$。
* 这两个群都是平凡群，它们是同构的。
* 2阶群:
* $\langle \mathbb{Z}_2, +_2 \rangle = \langle \{0,1\}, +_2 \rangle$。
* $\langle U_2, \cdot \rangle = \langle \{1,-1\}, \cdot \rangle$。它的表是：
| · | 1 | -1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 |
|-1 |-1 | 1 |
这个表和 ℤ₂ 的表也是同构的（把1对应到0，-1对应到1）。
* $\langle \{\text{偶, 奇}\}, + \rangle$。偶+偶=偶, 偶+奇=奇, 奇+奇=偶。令 偶=e, 奇=a，得到的表和上面的也一样。
* 结合律的验证：对于通过填表构造的群，结合律是最难验证的。使用“与已知群同构”的方法是一个捷径，但这要求你必须能找到一个已知的、结构相同的群。如果没有这样的已知群，就只能老老实实地逐一验证所有8种（对于2阶群）或27种（对于3阶群）组合。
* 命名不影响结构：我们把元素命名为 {e, a} 还是 {0, 1} 还是 {猫, 狗} 都不重要。重要的是运算表所揭示的内在结构。只要运算表的模式一样，它们就是同一个群（在同构的意义下）。
a'=e 的排除: 排除 a 的逆元是 e 的理由是，如果 ae=e，而单位元的性质是 ae=a，那么可得 a=e。但这与集合 {e, a} 中有两个不同元素的前提相矛盾。这个推理只有在 a 不等于 e 时才成立。如果群只有一个元素 {e}，那么 e 的逆元就是 e 自己，此时 ee=e，不产生矛盾。
本节通过从头构造的方法，得出了关于小阶有限群的重要结论：
1. 存在唯一的1阶群（平凡群）。
2. 存在唯一的2阶群结构。任何两个元素的集合，如果能构成群，其运算表必然与 ℤ₂ 的加法表同构。
这个过程揭示了群公理（特别是单位元和逆元公理）对群的运算表有极强的约束力，使得表的可能性大大减少。
1. 从具体到抽象：这是另一种从具体实例入手来理解抽象定义的方式。通过亲手“搭建”一个群，可以更深刻地体会到每个公理在结构中扮演的角色。
2. 引入群表：群表（凯莱表）是研究有限群的一个非常重要和直观的工具。本节通过构造过程自然地引入了这个工具。
3. 引出同构思想：通过构造2阶群，并将其与 ℤ₂ 比较，具体地展示了“同构”的含义——不同的表象（{e,a} vs {0,1}）背后是相同的结构。这为后面正式讨论同构和群的分类奠定了基础。
把构造群表的过程想象成在玩一个“数独”游戏。
* 游戏棋盘：一个 $n \times n$ 的方格。
* 游戏元素：$n$ 个不同的符号（比如 {e, a, b}）。
* 游戏规则：
1. 单位元规则：e 所在的那一行和那一列必须原样照抄表头和行头。
2. 逆元规则: e 必须在每一行和每一列中都恰好出现一次。
3. (隐藏的高级规则) 消去律规则: 每一行和每一列的所有元素都不能重复。（这个规则将在下一节明确提出）
4. 最终Boss规则 (结合律)：填完的表还必须满足一个非常复杂的全局协调性要求。
* 本节的工作，就是在 $2 \times 2$ 的棋盘上玩这个游戏。我们发现，根据规则1和2，只有一种填法。然后我们通过“参考答案”(ℤ₂)的方式，确认了这种填法也满足最难的规则4。
想象你在设计一个只有两个档位的开关：ON 和 OFF。
* 集合: {OFF, ON}。
运算: 连续拨动开关。比如 ON * OFF 表示当前在 ON 状态，再执行一次 OFF 的操作。这里我们把元素和操作混为一谈，可以定义运算为状态的“异或”组合。
* 我们定义 OFF 为单位元 e。
OFF OFF = OFF (不改变状态)
OFF ON = ON (从OFF变成ON)
ON OFF = ON (ON状态不受OFF操作影响)
ON ON = ?：在ON状态再执行一次ON操作，应该变回OFF状态。所以 ON*ON=OFF。
* 这个开关系统的逻辑表，就和2阶群的表完全一样。
有了这个例子作为背景，我们应该能够列出对于一个有限集上的二元运算的表，为了使该运算在该集合上形成群结构所必须满足的一些必要条件。集合中必须有一个元素，我们不妨称之为 $e$，它充当单位元。条件 $e * x=x$ 意味着表中最左边与 $e$ 对应的行必须包含与表最上方出现的元素完全相同的顺序。同样，条件 $x * e=x$ 意味着表中最上方 $e$ 下方的列必须包含与最左边出现的元素完全相同的顺序。每个元素 $a$ 都有右逆元和左逆元这一事实意味着，在最左边是 $a$ 的行中，必须出现元素 $e$，并且在最上方是 $a$ 的列中，必须出现 $e$。因此 $e$ 必须出现在每一行和每一列中。然而，我们甚至可以做得更好。根据定理 4.16，不仅方程 $a * x=e$ 和 $y * a=e$ 有唯一解，而且方程 $a * x=b$ 和 $y * a=b$ 也有唯一解。通过类似的论证，这意味着群的每个元素 $b$ 必须在表的每一行和每一列中出现一次且仅出现一次。
反之，假设一个有限集上的二元运算的表具有一个充当单位元的元素，并且在每一行和每一列中，集合的每个元素恰好出现一次。那么可以认为，当且仅当结合律成立时，该结构才是一个群结构。如果二元运算 $*$ 是通过表给出的，结合律通常检查起来很麻烦。如果运算 $*$ 是通过 $a * b$ 的某种特性来定义的，结合律通常很容易检查。幸运的是，后一种情况通常是遇到的。
我们看到，本质上只有一个两个元素的群，从这个意义上说，如果元素用 $e$ 和 $a$ 表示，单位元 $e$ 放在第一位，那么表必须如表 4.19 所示。假设一个集合有三个元素。和以前一样，我们不妨设这个集合为 $\{e, a, b\}$。为了使 $e$ 成为单位元，这个集合上的二元运算 $*$ 必须有一个如表 4.20 所示的表。这剩下四个空位需要填充。你可以很快发现，如果每一行和每一列都要包含每个元素恰好一次，表 4.20 必须如表 4.21 所示完成。由于表只能以一种方式完成，并且 $\mathbb{Z}_{3}=\{0,1,2\}$ 在模 3 加法下是一个群，因此我们的包含 $e, a$ 和 $b$ 的表必须满足结合律。
现在假设 $G^{\prime}$ 是另一个具有三个元素的群，并想象 $G^{\prime}$ 的表，其中单位元首先出现。由于我们填充 $G=\{e, a, b\}$ 的表只能以一种方式进行，我们看到，如果我们取 $G^{\prime}$ 的表并将单位元重新命名为 $e$，下一个列出的元素命名为 $a$，最后一个元素命名为 $b$，那么 $G^{\prime}$ 产生的表必须与我们为 $G$ 得到的表相同。如第 3 节所述，这种重命名给出了群 $G^{\prime}$ 与群 $G$ 的同构。定义 3.7 定义了同构的概念和同构二元结构的概念。群只是某些类型的二元结构，因此相同的定义适用于它们。因此，我们上面的工作可以总结为：所有具有一个元素的群都是同构的，所有只有两个元素的群都是同构的，所有只有三个元素的群都是同构的。我们使用“同构意义下”这个短语来表达这种使用等价关系 $\simeq$ 的同一性。因此我们可以说：“同构意义下，只有一个三个元素的群。”
这一节首先总结了群表（凯莱表）必须满足的性质，然后利用这些性质来构造和分析3阶群。
1. 群表的性质总结
* 作者从群的公理出发，推导出一个合法的群表需要满足的“视觉”特征。
* 单位元性质:
* e 所在行，必须原样复制表头。
* e 所在列，必须原样复制行头。
* 逆元性质:
* 每一行、每一列都必须出现 e。（因为 $a*x=e$ 和 $y*a=e$ 总有解）
* 拉丁方性质 (Latin Square Property):
* 这是一个更强的性质，源自定理 4.16（线性方程有唯一解）。
* 方程 $a*x=b$ 有唯一解，意味着在群表中 a 所在的那一行，对于任意的 b，都有一个唯一的 x 与之对应。这翻译过来就是：a 行的每一个结果 b 都是独一无二的。由于有n个位置，n个可能的元素，所以每一行都必须是所有群元素的一个排列。
* 同理，方程 $y*a=b$ 有唯一解意味着每一列也必须是所有群元素的一个排列。
* 这个“每一行每一列都是一个置换”的性质，使得群表成为一个拉丁方。
2. 拉丁方性质的反向应用
* 作者接着说，反过来，如果一个运算表：
1. 有一个元素表现得像单位元。
2. 满足拉丁方性质。
* 那么它就满足了除结合律之外的所有群公理。此时，这个结构是不是群，就完全取决于结合律是否成立。
* 结合律是“硬骨头”: 通过运算表来验证结合律非常繁琐，没有简单的视觉规则。但如果运算是通过公式定义的（如 $a*b=ab/2$），验证结合律通常更容易。
3. 构造3阶群
* 集合: {e, a, b}，e 是单位元。
* 第一步：利用单位元性质填表。得到 表 4.20。
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | ? | ? |
| b | b | ? | ? |
* 第二步：利用拉丁方性质填剩下的格子。
* 看第二行 a 行：a, ?, ?。剩下的两个格子必须填 e 和 b。
看 aa 这个格子。它能填 e 吗？能填 b 吗？
* 再看第二列 a 列：a, ?, ?。剩下的两个格子必须填 e 和 b。
尝试填 aa:
假设 aa = e:
* 第二行就必须是 a, e, b (为了不重复)。
第三行 b 行，看 ba。第二列 a 列已经是 a, e，所以 ba 必须是 b。但这样 b 行就有了两个 b (be=b, b*a=b)，违反了拉丁方性质。所以假设不成立。
假设 aa = a: 违反拉丁方性质（a 行重复）。
因此 aa 必须等于 b。这是唯一的选择。
一旦 aa=b 确定下来：
第二行 a 行是 a, b, ?，所以 ab 必须是 e。
第二列 a 列是 a, b, ?，所以 ba 必须是 e。
现在只剩 bb。看第三行 b, e, ?，所以 b*b 必须是 a。
* 最终唯一的填法: 得到了 表 4.21。
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | b | e |
| b | b | e | a |
4. 同构与唯一性
* 结合律: 和2阶群一样，我们通过类比来解决。我们知道 ⟨ℤ₃, +₃⟩ 是一个群，它的运算表（0, 1, 2 分别对应 e, a, b）和我们构造的表是同构的。因此，我们构造的表也满足结合律。
* 唯一性结论: 由于对于任意一个3阶群，我们按照群公理（特别是拉丁方性质）来填充它的运算表，都只会得到这一种唯一的结构（在元素重命名意义下）。
* 推广: 作者总结道，同构意义下（即忽略元素的名字，只看结构），只有一种1阶群，一种2阶群，一种3阶群。
* “同构意义下”: 这个短语非常重要。它告诉我们，我们不再关心群元素的具体身份（是数、是矩阵、还是别的），只关心它们之间的运算关系。这就像说“所有等边三角形都是一样的”，我们忽略了它们的大小和位置，只关心它们的形状和比例。
* 3阶群 ⟨ℤ₃, +₃⟩ 的运算表:
* 集合: {0, 1, 2}
* 运算: 模3加法
* 表:
| +₃ | 0 | 1 | 2 |
|----|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
* 将 e, a, b 分别替换为 0, 1, 2，这个表就和作者构造出的 表 4.21 完全一样。
* 拉丁方但非群的例子:
* 考虑集合 {a, b, c}，运算如下：
| * | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | a | b | c |
| b | c | a | b |
| c | b | c | a |
* 这个表满足拉丁方性质（每行每列无重复）。a 看起来像单位元。
* 但它不满足结合律：
(bb)c = ac = c
b(bc) = bb = a
* 因为 c ≠ a，所以结合律不成立。因此这不是一个群。
* 拉丁方性质不是充分条件：满足拉丁方性质的运算表不一定是群，结合律是最后的、也是最关键的考验。
同构的精确含义：同构不仅仅是“长得像”，它要求存在一个保持运算结构的一一映射。例如，对于3阶群，映射 φ(e)=0, φ(a)=1, φ(b)=2 就是一个同构。φ(aa)=φ(b)=2，而 φ(a)+₃φ(a)=1+₃1=2，两者相等，说明映射保持了运算。
* 阶数越高，可能性越多：我们看到1, 2, 3阶群在同构意义下都只有一种。但这并不意味着所有阶数都只有一种。例如，4阶群就有两种不同构的结构（一个同构于 ℤ₄，另一个同构于“克莱因四元群”）。阶数越高，可能的群结构就越多、越复杂。
本节的核心思想是通过群表来研究有限群。
1. 一个合法的群表必须是拉丁方，即每行每列都是群元素的一个排列。这是线性方程有唯一解的直接体现。
2. 拉丁方性质加上单位元的存在，几乎就要成为一个群了，只差结合律这最后一道关卡。
3. 通过构造法和“拉丁方”约束，我们发现所有3个元素的群都具有相同的运算表结构。
4. 由此得出结论：在同构的意义下，1阶、2阶、3阶的群都分别只有一种。
1. 深化对群表性质的理解：将之前推导出的“消去律”和“线性方程解的唯一性”这些抽象定理，转化为群表上“拉丁方”这一直观的视觉性质。
2. 引入群的分类思想：通过证明低阶群的唯一性，初步引入了群论的一个核心问题——群的分类。即对于一个给定的阶数 n，存在多少种本质不同（不同构）的群？
3. 展示构造法的威力：通过在 $3 \times 3$ 的“数独”上应用群的规则，我们不依赖任何高级定理，就完全确定了3阶群的结构。这是一种非常基本但强大的研究方法。
把“同构意义下的群”想象成“动物的骨架结构”。
* 1阶群：只有一种最简单的“单细胞生物”的骨架。
* 2阶群：只有一种“两块骨头”的生物的骨架连接方式。不管这种生物外表是像 {-1, 1} 还是像 {偶, 奇}，它们的骨架（运算表）都是一样的。
* 3阶群：只有一种“三块骨头”的生物的骨架连接方式。
* 群论的分类问题，就好比生物学家的工作：对于有 n 块骨头的生物，一共有多少种可能的、能稳定存在的骨架结构？本节的结论是，当 n=1, 2, 3 时，答案都只有1种。
想象你在设计一个有3个按钮 {E, A, B} 的简单遥控器，用来控制一个灯的3种状态（比如 关、弱光、强光）。
* 按钮 E 的功能是“状态不变”。
* 按钮 A 的功能是“切换到下一个状态”（关->弱光->强光->关）。
* 按钮 B 的功能是“切换到上一个状态”。
运算 是“连续按两个按钮”。
AA 的效果是：连按两次“下一档”，比如从“关”变成“强光”。这和直接按一次“上一档”(B) 的效果是一样的。所以 A*A=B。
AB 的效果是：先按“下一档”，再按“上一档”，结果状态没变。所以 A*B=E。
* 你最终会发现，这个遥控器的操作逻辑，就完美地对应了3阶群的运算表。任何一个3阶群，本质上都和这个遥控器的逻辑是“同构”的。
由于篇幅限制和内容性质，这里将对练习题进行分类、解释和提供解题思路，而不是逐一给出完整解答。这将更有助于理解和学习。
核心任务: 对于给定的集合和运算，逐一验证群的四条公理：封闭性、结合律、单位元、逆元。只要有一条不满足，就不是群，并指出是哪一条。
* 1. $\langle \mathbb{Z}, * \rangle$ with $a*b=ab$ (整数乘法)
* 封闭性: 整数相乘还是整数。满足。
* 结合律: 乘法满足结合律。满足。
* 单位元: 乘法单位元是 1。满足。
* 逆元: 对于元素 2，其乘法逆元是 1/2，不属于 $\mathbb{Z}$。不满足。
* 结论: 不是群。$\mathscr{G}_3$ 不成立。
* 2. $\langle 2\mathbb{Z}, * \rangle$ with $a*b=a+b$ (偶数加法)
* 集合: $2\mathbb{Z} = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$
* 封闭性: 偶数+偶数=偶数。满足。
* 结合律: 加法满足结合律。满足。
* 单位元: 加法单位元是 0，0是偶数。满足。
* 逆元: 对于偶数 $2n$，其逆元是 $-2n$，也是偶数。满足。
* 结论: 是一个群（并且是阿贝尔群）。
* 3. $\langle \mathbb{R}^+, * \rangle$ with $a*b=\sqrt{ab}$ (正实数开根号乘法)
* 封闭性: $a,b > 0 \implies ab > 0 \implies \sqrt{ab} > 0$。满足。
* 结合律:
* $(a*b)*c = \sqrt{(\sqrt{ab})c} = (ab)^{1/4}c^{1/2}$
* $a*(b*c) = \sqrt{a(\sqrt{bc})} = a^{1/2}(bc)^{1/4}$
* 两者不相等。不满足。
* 结论: 不是群。$\mathscr{G}_1$ 不成立。
* 4. $\langle \mathbb{Q}, * \rangle$ with $a*b=ab$ (有理数乘法)
* 封闭性: 满足。
* 结合律: 满足。
* 单位元: 1。满足。
* 逆元: 元素 0 没有乘法逆元。不满足。
* 结论: 不是群。$\mathscr{G}_3$ 不成立。
* 5. $\langle \mathbb{R}^*, * \rangle$ with $a*b=a/b$ (非零实数除法)
* 封闭性: 满足。
* 结合律:
* $(a*b)*c = (a/b)/c = a/(bc)$
* $a*(b*c) = a/(b/c) = ac/b$
* 两者不相等。不满足。
* 结论: 不是群。$\mathscr{G}_1$ 不成立。
* 6. $\langle \mathbb{C}, * \rangle$ with $a*b=|ab|$ (复数乘积的模)
* 运算结果: 结果总是一个非负实数。
* 封闭性: 结果不总是复数（例如，可以是实数5），但如果把集合看作是复数集，那么它是封闭的。但如果看作是运算，结果的值域是 $\mathbb{R}_{\ge 0}$，而定义域是 $\mathbb{C}$。
* 结合律:
* $(a*b)*c = ||ab|c| = |ab|c|$ (因为 $|ab|$ 是实数)
* $a*(b*c) = |a|bc|| = |a||bc|$
* 两者相等。满足。
* 单位元: 假设 $e$ 是单位元, $a*e = |ae| = a$。这要求 $a$ 必须是正实数，与 $a \in \mathbb{C}$ 矛盾。比如，如果 $a=i$, $|ie|=i$ 无解。不满足。
* 结论: 不是群。$\mathscr{G}_2$ 不成立。
* 7. 1000个元素的阿贝尔群
* 最简单的例子是模1000加法群: $\langle \mathbb{Z}_{1000}, +_{1000} \rangle$。它有1000个元素 $\{0, 1, ..., 999\}$，是阿贝尔群。
* 8. 模8乘法群 $\{1,3,5,7\}$
* 表:
| $\cdot_8$ | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 3 | 1 | 7 | 5 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 7 | 7 | 5 | 3 | 1 |
* 例如: $3 \cdot_8 5 = 15 \pmod 8 = 7$。 $7 \cdot_8 7 = 49 \pmod 8 = 1$。
* 这个群的每个元素都是自己的逆元。
* 9. 证明 $\langle U, \cdot\rangle$, $\langle\mathbb{R},+\rangle$, $\left\langle\mathbb{R}^{*}, \cdot\right\rangle$ 互不同构
* 思路: 找它们之间结构性的不同点。
* $\langle U, \cdot\rangle$ vs $\langle\mathbb{R},+\rangle$:
* 在 $U$ 中，有很多元素 $x$ 满足 $x^n=1$ for some $n>1$ (例如 $i^4=1$)。这些元素被称为有限阶元素。
* 在 $\langle\mathbb{R},+\rangle$ 中，方程 $n \cdot x = 0$ (加法群的写法) 只有当 $x=0$ 时才对 $n>0$ 成立。除了单位元0，没有有限阶元素。
* 因为一个有非平凡有限阶元素，另一个没有，所以它们不同构。
* $\langle\mathbb{R},+\rangle$ vs $\left\langle\mathbb{R}^{*}, \cdot\right\rangle$:
* 在 $\left\langle\mathbb{R}^{*}, \cdot\right\rangle$ 中，有元素 $x=-1$ 满足 $x^2=1$。
* 在 $\langle\mathbb{R},+\rangle$ 中，满足 $2x=0$ 的元素只有 $x=0$。
* 因此它们不同构。
* $\langle U, \cdot\rangle$ vs $\left\langle\mathbb{R}^{*}, \cdot\right\rangle$:
* 在 $U$ 中，所有元素都满足 $|x|=1$。
* 在 $\mathbb{R}^*$ 中，有绝对值不为1的元素 (如 2)。这个性质本身不是结构性的。
* 考虑方程 $x^n=a$ 的解。在 $U$ 中，对任意 $a \in U$ 和 $n \in \mathbb{Z}^+$, 方程 $x^n=a$ 总是有解。但在 $\mathbb{R}^*$ 中，方程 $x^2 = -1$ 就无解。所以它们不同构。
* 10. $\langle n\mathbb{Z}, + \rangle$
* a. 证明是群: 和练习2类似。$n\mathbb{Z}$ 是所有n的倍数的整数集合。两个n的倍数相加还是n的倍数（封闭）。加法结合。单位元是0，是n的倍数。任何 $nk$ 的逆元是 $-nk = n(-k)$，也是n的倍数。所以是群。
* b. 证明同构于 $\langle\mathbb{Z},+\rangle$:
* 定义映射 $\phi: \mathbb{Z} \to n\mathbb{Z}$ 为 $\phi(m) = nm$。
* 一一对应: 显然是。
* 保持运算: $\phi(m_1 + m_2) = n(m_1+m_2) = nm_1 + nm_2 = \phi(m_1) + \phi(m_2)$。
* 所以 $\langle n\mathbb{Z},+\rangle \simeq \langle\mathbb{Z},+\rangle$。
核心任务: 利用矩阵加法和乘法的性质，以及行列式的性质来判断。
提示:
* 加法群通常都是阿贝尔群，关键看单位元(零矩阵)和逆元(-A)是否在集合内。
* 乘法群的关键是单位元($I_n$)和逆元($A^{-1}$)的存在性，以及封闭性。
* 行列式性质: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$, $A$ 可逆 $\iff \det(A) \neq 0$。
* 11. n x n 对角矩阵，加法: 是群。封闭，零矩阵是对角阵，对角阵的相反数还是对角阵。
* 12. n x n 对角矩阵，乘法: 不是群。对角线上有0的对角阵不可逆。
* 13. 无零对角元素的 n x n 对角矩阵，乘法: 是群。
* 封闭性: 两个这样的矩阵相乘，对角线元素是对应对角线元素的乘积，不会是0。
* 单位元: $I_n$ 的对角线都是1。满足。
* 逆元: $A$ 的逆元是对角线元素取倒数，因为原对角线元素非零，所以倒数存在。
* 14. 对角元素为1或-1的 n x n 对角矩阵，乘法: 是群。
* 封闭性: 乘积的对角线元素是 $\pm 1 \times \pm 1$，结果还是 $\pm 1$。
* 单位元: $I_n$ 满足。
* 逆元: 每个元素是自己的逆元，因为 $1^{-1}=1, (-1)^{-1}=-1$。
* 15. n x n 上三角矩阵，乘法: 不是群。对角线上有0的上三角矩阵不可逆。
* 16. n x n 上三角矩阵，加法: 是群。封闭，零矩阵是上三角，上三角的相反数还是上三角。
* 17. 行列式为1的 n x n 上三角矩阵，乘法: 是群。
* 封闭性: 两个上三角矩阵的乘积还是上三角。$\det(AB)=\det(A)\det(B)=1 \cdot 1 = 1$。
* 单位元: $\det(I_n)=1$。
* 逆元: 如果 $\det(A)=1$，那么 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1$。可逆上三角矩阵的逆矩阵也是上三角。
* 这个群叫特殊线性群的子群。
* 18. 行列式为1或-1的 n x n 矩阵，乘法: 是群。
* 封闭性: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$，结果只能是 $1\cdot1, 1\cdot(-1), (-1)\cdot1, (-1)\cdot(-1)$ 之一，都在 $\{1, -1\}$ 里。
* 单位元: $\det(I_n)=1$。
* 逆元: $\det(A^{-1})=1/\det(A)$，如果 $\det(A)=\pm 1$，那么 $\det(A^{-1})=\pm 1$。
* 19. $a*b = a+b+ab$ 在 $S = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
* a. 封闭性: 假设 $a*b=-1$，则 $a+b+ab=-1 \implies a(1+b)+b+1=0 \implies (a+1)(b+1)=0$。这要求 $a=-1$ 或 $b=-1$。但 $a,b \in S$，所以它们都不是-1。因此 $a*b$ 永远不会是-1。封闭。
* b. 证明是群:
* 结合律: $(a*b)*c = (a+b+ab)*c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc$。 $a*(b*c)$ 展开也是它。满足。
* 单位元: 解 $a*e=a \implies a+e+ae=a \implies e(1+a)=0$。因为这对所有 $a \in S$ 成立，所以 $e=0$。单位元是0。
* 逆元: 解 $a*a'=0 \implies a+a'+aa'=0 \implies a'(1+a)=-a \implies a' = -a/(1+a)$。因为 $a \neq -1$，所以逆元存在。并且如果 $a'=-1$,则 $-a = -(1+a) \implies -a=-1-a \implies 0=-1$ 矛盾，所以 $a' \neq -1$。是群。
* c. 解 $2*x*3=7$:
* $2*x = 2+x+2x = 2+3x$。
* $(2+3x)*3=7 \implies (2+3x)+3+(2+3x)3=7 \implies 5+3x+6+9x=7 \implies 12x+11=7 \implies 12x=-4 \implies x=-1/3$。
* 22. 公理顺序:
* 可接受的: $\mathscr{G}_{1}, \mathscr{G}_{2}, \mathscr{G}_{3}$ (标准)；$\mathscr{G}_{1}, \mathscr{G}_{3}, \mathscr{G}_{2}$ (需要先有逆元概念再提单位元，有点绕)；$\mathscr{G}_{2}, \mathscr{G}_{1}, \mathscr{G}_{3}$ (先提单位元再提结合律也可)。
* 不可接受的:
* 任何把 $\mathscr{G}_{3}$ (逆元) 放在 $\mathscr{G}_{2}$ (单位元) 之前的顺序都是不可接受的。因为逆元的定义 $a*a'=e$ 依赖于单位元 $e$ 的事先存在。没有定义 $e$ 是什么，就无法定义逆元。
* 所以 $\mathscr{G}_{3}, ...$ 开头的都不行。$\mathscr{G}_{1}, \mathscr{G}_{3}, \mathscr{G}_{2}$ 勉强可以，但逻辑上不自然。
* 25. 真假判断:
* a. 假 (单位元唯一)
* b. 真 (3阶群同构于Z₃)
* c. 真 (定理4.16)
* d. 假 (理解比背诵更重要)
* e. 假 (必须是充要条件)
* f. 真 (这才是等价定义的含义)
* g. 真 (1,2,3阶群都是阿贝尔群)
* h. 真 (解是 $x=a'cb'$)
* i. 假 (群必须非空，至少包含单位元)
* j. 真 (群是二元结构的特例)
* 29. 偶数阶有限群存在 $a \neq e$ 使得 $a*a=e$:
* 证明思路 (配对): 将群中所有元素 $x$ 与其逆元 $x'$ 配对。
* 如果 $x \neq x'$，那么 $(x, x')$ 是一对。
* 如果 $x=x'$，那么 $x$ 自己和自己配对。这种情况发生的条件是 $x*x=e$。
* 单位元 $e$ 总是自己和自己配对 ($e*e=e$)。
* 群的总元素个数是偶数。除去单位元 $e$，还剩下奇数个元素。
* 这些剩下的元素，要么是成对 $(x, x')$ 出现，要么是自己和自己配对。
* 因为总数是奇数，成对出现的元素加起来总是偶数个，所以必须至少还有一个元素是自己和自己配对的。这个元素 $a$ 就不等于 $e$，且满足 $a*a=e$。
* 32. 若所有 $x$ 满足 $x*x=e$，则群是阿贝尔群:
* 提示: $x*x=e$ 意味着 $x=x'$ (每个元素是自己的逆元)。
* 考虑 $(a*b)*(a*b) = e$。
* 两边左乘 $a$：$a*(a*b)*(a*b) = a*e \implies (a*a)*b*(a*b)=a \implies e*b*(a*b)=a \implies b*(a*b)=a$。
* 两边再左乘 $b$：$b*(b*(a*b)) = b*a \implies (b*b)*(a*b)=b*a \implies e*(a*b)=b*a \implies a*b=b*a$。
* 得证。
* 39. $a*x=b$ 和 $y*a=b$ 总有解 $\implies$ 是群:
* 思路: 用这个条件去凑出群的单边公理。
* 1. 结合律: 这是给定的。
* 2. 找左单位元:
* 取一个元素 $a \in G$。方程 $y*a=a$ 有解，设解为 $e$。所以 $e*a=a$。
* 现在要证明这个 $e$ 对所有元素都有效。
* 对任意 $b \in G$，方程 $a*x=b$ 有解 $x_0$。所以 $a*x_0=b$。
* $e*b = e*(a*x_0) = (e*a)*x_0 = a*x_0 = b$。
* 所以 $e$ 是左单位元。
* 3. 找左逆元:
* 对于任意 $a \in G$，方程 $y*a=e$ 有解，设解为 $a'$。所以 $a'*a=e$。
* 结论: 满足结合律、有左单位元、有左逆元。根据练习38或教材结论，它是一个群。
1. $
\begin{aligned}
5+x & =2, & & \text { 给定, } \\
-5+(5+x) & =-5+2, & & \text { 加 }-5 \\
(-5+5)+x & =-5+2, & & \text { 结合律, } \\
0+x & =-5+2, & & \text { 计算 }-5+5 \\
x & =-5+2, & & \text { 0 的性质 } \\
x & =-3, & & \text { 计算 }-5+2
\end{aligned}
$: 该公式详细分解了求解加法线性方程 $5+x=2$ 的每一步，揭示了其依赖的代数性质。
2. $
\begin{aligned}
2 x & =3, & & \text { 给定, } \\
\frac{1}{2}(2 x) & =\frac{1}{2}(3), & & \text { 乘以 } \frac{1}{2}, \\
\left(\frac{1}{2} \cdot 2\right) x & =\frac{1}{2} 3, & & \text { 结合律, } \\
1 \cdot x & =\frac{1}{2} 3, & & \text { 计算 } \frac{1}{2} 2, \\
x & =\frac{1}{2} 3, & & \text { 1 的性质, } \\
x & =\frac{3}{2}, & & \text { 计算 } \frac{1}{2} 3 .
\end{aligned}
$: 该公式详细分解了求解乘法线性方程 $2x=3$ 的每一步，揭示了其依赖的代数性质。
3. $(a * b) * c=a *(b * c) . \quad \text{ * 的结合律}$: 这是群公理$\mathscr{G}_{1}$，定义了结合律。
4. $e * x=x * e=x . \quad \text{ * 的单位元 } e$: 这是群公理$\mathscr{G}_{2}$，定义了单位元的存在和性质。
5. $a * a^{\prime}=a^{\prime} * a=e \text { 。 } a \text { 的逆元 } a^{\prime}$: 这是群公理$\mathscr{G}_{3}$，定义了每个元素都存在逆元。
6. $e^{i \theta} \cdot e^{i(2 \pi-\theta)}=e^{2 \pi i}=1$: 该公式证明了在复数单位圆群 $U$ 中，任意元素 $e^{i\theta}$ 的逆元是 $e^{-i\theta}$。
7. $z \cdot z^{n-1}=z^{n}=1$: 该公式证明了在n次单位根群 $U_n$ 中，任意元素 $z$ 的逆元是 $z^{n-1}$。
8. $(A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=A I_{n} A^{-1}=I_{n}$: 该公式证明了如果矩阵A和B都可逆，它们的乘积AB也可逆，且逆为 $B^{-1}A^{-1}$。
9. $(a * b) * c=\frac{a b}{2} * c=\frac{a b c}{4}$: 该公式在验证运算 $a*b=ab/2$ 的结合律时，计算了 $(a*b)*c$ 的结果。
10. $a *(b * c)=a * \frac{b c}{2}=\frac{a b c}{4}$: 该公式在验证运算 $a*b=ab/2$ 的结合律时，计算了 $a*(b*c)$ 的结果。
11. $2 * a=a * 2=a$: 该公式验证了在运算 $a*b=ab/2$ 下，元素2是单位元。
12. $a * \frac{4}{a}=\frac{4}{a} * a=2$: 该公式验证了在运算 $a*b=ab/2$ 下，元素 $a$ 的逆元是 $4/a$。
13. $a^{\prime} *(a * b)=a^{\prime} *(a * c)$: 这是证明左消去律的第一步，在等式两边左乘逆元。
14. $\left(a^{\prime} * a\right) * b=\left(a^{\prime} * a\right) * c$: 这是证明左消去律的第二步，应用了结合律。
15. $e * b=e * c$: 这是证明左消去律的第三步，使用了逆元的定义。
16. $b=c .$: 这是证明左消去律的最后一步，使用了单位元的定义。
17. $
\begin{aligned}
a \left(a^{\prime} b\right) & =\left(a a^{\prime}\right) b, & & \text { 结合律, } \\
& =e * b, & & a^{\prime} \text{ 的定义} \\
& =b, & & e \text{ 的性质} .
\end{aligned}
$: 该公式证明了在线性方程 $ax=b$ 中， $x=a'b$ 是一个解。
18. $e * x=x * e=x$: 该公式在定理4.17中重申了单位元的定义。
19. $a^{\prime} * a=a * a^{\prime}=e .$: 该公式在定理4.17中重申了逆元的定义。
20. $a * a^{\prime \prime}=a * a^{\prime}=e$: 这是证明逆元唯一性的一步，说明两个假设的逆元都满足相同的方程。
21. $a^{\prime \prime}=a^{\prime},$: 这是证明逆元唯一性的结论，通过对前一个方程应用左消去律得出。
22. $(a * b) *\left(b^{\prime} * a^{\prime}\right)=a *\left(b * b^{\prime}\right) * a^{\prime}=(a * e) * a^{\prime}=a * a^{\prime}=e .$: 该公式证明了 $b'*a'$ 是 $a*b$ 的右逆元，从而证明了乘积的逆元反序的规律。
好的，我将从上次中断的地方继续。
这里将对概念与理论部分的练习题提供详细的解释和解题思路。
* 19. 在 $S = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ 上定义 $a*b = a+b+ab$
* a. 证明是二元运算 (封闭性):
我们需要证明对于任意 $a, b \in S$，$a*b$ 的结果也属于 $S$。也就是证明 $a*b \neq -1$。
我们用反证法。假设 $a*b = -1$，那么根据定义有 $a+b+ab = -1$。
将等式变形：$a+b+ab+1 = 0 \implies a(1+b) + (b+1) = 0 \implies (a+1)(b+1) = 0$。
这个等式成立的条件是 $a+1=0$ 或 $b+1=0$，即 $a=-1$ 或 $b=-1$。
但这与我们的前提“$a, b$ 都属于 $S$” (即 $a \neq -1$ 且 $b \neq -1$) 相矛盾。
因此，我们的假设不成立，所以 $a*b$ 永远不会等于 -1。封闭性得证。
* b. 证明 $\langle S, *\rangle$ 是一个群:
* 结合律: 我们需要验证 $(a*b)*c = a*(b*c)$。
左边：$(a*b)*c = (a+b+ab)*c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = a+b+c+ab+ac+bc+abc$。
右边：$a*(b*c) = a*(b+c+bc) = a + (b+c+bc) + a(b+c+bc) = a+b+c+ab+ac+bc+abc$。
两边相等，结合律满足。
* 单位元: 我们需要寻找一个 $e \in S$，使得对所有 $a \in S$ 都有 $a*e=a$。
$a+e+ae = a \implies e+ae=0 \implies e(1+a)=0$。
因为这个等式需要对所有 $a \in S$ (即 $a \neq -1$) 都成立，所以唯一的可能性是 $e=0$。
我们验证 $0 \in S$ (是的)，并且它是双边单位元：$a*0 = a+0+a\cdot0 = a$；$0*a = 0+a+0\cdot a=a$。所以单位元是 0。
* 逆元: 对每个 $a \in S$，我们寻找一个 $a' \in S$ 使得 $a*a'=e=0$。
$a+a'+aa'=0 \implies a'(1+a) = -a$。
因为 $a \neq -1$，所以 $1+a \neq 0$，我们可以除过去：$a' = \frac{-a}{1+a}$。
我们还需要验证逆元 $a'$ 是否在集合 $S$ 中，即 $a' \neq -1$。
假设 $a'=-1$，则 $\frac{-a}{1+a} = -1 \implies -a = -(1+a) \implies -a = -1-a \implies 0=-1$，这是一个矛盾。所以 $a'$ 永远不等于 -1。
因此，每个元素 $a$ 都有一个在 $S$ 中的逆元 $a'$。
* 结论: 所有公理都满足，它是一个群。
* c. 求解 $2*x*3=7$:
我们一步步计算：
首先计算 $2*x = 2+x+2x = 2+3x$。
然后计算 $(2*x)*3 = (2+3x)*3 = (2+3x)+3+(2+3x)\cdot3 = 5+3x+6+9x = 11+12x$。
所以方程变为 $11+12x = 7$。
$12x = 7-11 = -4$。
$x = -4/12 = -1/3$。
* 20. 构造4阶群的运算表
这个问题引导我们发现，4阶群存在两种不同的结构。
设集合为 $\{e, a, b, c\}$。
情况1：$a*a=e$
根据拉丁方性质，这可以产生两种可能的群表：
* 表1 (克莱因四元群 $V_4$):
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
特点：每个元素都是自己的逆元（对角线上全是e）。这个群是阿贝尔群。
* 表2 (循环群 $Z_4$):
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b | (这部分和上面一样)
| b | b | c | a | e |
| c | c | b | e | a |
(这个表是通过 aa=e, bb=a 推导出的，这里从略)
特点：存在一个元素（如b）的阶为4 ($b^2=a, b^3=c, b^4=e$)。
情况2：$a*a=b$
根据拉丁方性质和结合律，这只能产生一种群表：
* 表3 (循环群 $Z_4$):
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | b | c | e |
| b | b | c | e | a |
| c | c | e | a | b |
同构关系: 表2和表3都描述了循环群 $Z_4$ 的结构，因此它们是同构的。表1描述了克莱因四元群，其结构与 $Z_4$ 不同（$V_4$ 没有4阶元素）。
映射函数: 设表2的元素为 $\{e_1, a_1, b_1, c_1\}$，表3的元素为 $\{e_2, a_2, b_2, c_2\}$。表2的生成元是 $b_1$（阶为4），表3的生成元是 $a_2$（阶为4）。我们可以建立一个映射 $\phi: \{T_3\} \to \{T_2\}$，将生成元映射到生成元：
$\phi(e_2) = e_1$
$\phi(a_2) = b_1$
$\phi(a_2^2) = \phi(b_2) = b_1^2 = a_1$
$\phi(a_2^3) = \phi(c_2) = b_1^3 = c_1$
这个一一映射保持了群的运算结构。
* a. 所有4阶群都交换吗？ 是的。从上面三个表（以及所有可能的4阶群表）都是对称的可以看出，它们都是阿贝尔群。这是一个普遍结论。
* b. 哪个表与 $U_4$ 同构？ $U_4 = \{1, i, i^2, i^3\}$ 是一个由 $i$ 生成的4阶循环群。因此，表2和表3都与 $U_4$ 同构。
* c. 哪个表与练习14的群同构？ 练习14当 $n=2$ 时，群为 $\{I, \text{diag}(-1,1), \text{diag}(1,-1), \text{diag}(-1,-1)\}$。每个非单位元矩阵的平方都是单位矩阵 $I$。这是一个所有非单位元元素的阶都是2的群。这正是克莱イン四元群的特征。因此，表1与该矩阵群同构。
* 21. 可能的群结构数量
* 在一个2元素集合上，总共有 $2^{(2 \times 2)} = 16$ 种可能的二元运算。我们已经证明了，在同构意义下只有一种群结构。但题目问的是有多少个不同的运算表可以构成群。
* 设集合为 $\{x, y\}$。
* 如果 $x$ 是单位元，则表是唯一的，这是1个运算。
* 如果 $y$ 是单位元，则表也是唯一的，这是第2个运算。
* 所以，总共有 2 种运算能构成群。
* 在一个3元素集合上，总共有 $3^{(3 \times 3)} = 19,683$ 种可能的二元运算。
* 设集合为 $\{x, y, z\}$。
* 如果 $x$ 是单位元，我们证明了表是唯一的。这是1个运算。
* 如果 $y$ 是单位元，我们也能得到一个唯一的表。这是第2个运算。
* 如果 $z$ 是单位元，这是第3个运算。
* 这3个运算表是不同的。所以，总共有 3 种运算能构成群。
* 23. 批评学生们的定义
a: 主要错误是 ex=xe=x=单位元。$x$ 是一个变量元素，而“单位元”是这个特殊元素 $e$ 的名字，不能将一个变量和一个常量混为一谈。另外，运算符号不统一（ 和 ·）。
* b: 定义过于含糊。没有明确说明运算是二元的、封闭的。没有说清楚单位元和逆元的具体性质（即它们的运算结果是什么）。“每个元素的逆元”没有与单位元关联起来。
* c: 极度含糊，几乎没有提供任何有效信息。“被定义”、“存在”这些词没有说明它们具体是如何定义、如何存在的。
d: 包含多个严重错误。在加法下是结合的 是无意义的，结合性是针对单个运算 自身的属性。ae=ea=e 是错误的，应该是 ae=ea=a。
* 24. 满足 $\mathscr{G}_2, \mathscr{G}_3$ 但不满足 $\mathscr{G}_1$ 的例子
思路: 我们需要构造一个有单位元、每个元素都有逆元，但结合律不成立的运算表。关键在于，如果没有结合律，线性方程不一定有唯一解，所以群表不一定是拉丁方。
设集合为 $\{e, a, b\}$，e 为单位元。
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | ? | ? |
| b | b | ? | ? |
为了满足 $\mathscr{G}_3$，每一行每一列都必须有 e。让我们试试最简单的情况：每个元素都是自己的逆元。
$a*a=e$, $b*b=e$。
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | e | ? |
| b | b | ? | e |
现在需要填上 $a*b$ 和 $b*a$。它们可以是 $e, a, b$ 中的任意一个。为了让表看起来“不对称”从而破坏结合律，我们做一个奇怪的选择。
比如，令 $a*b=a$，$b*a=b$。
最终的表:
| * | e | a | b |
|---|---|---|---|
| e | e | a | b |
| a | a | e | a |
| b | b | b | e |
* $\mathscr{G}_2$ 满足: 第一行第一列正确。
* $\mathscr{G}_3$ 满足: $e$ 的逆是 $e$，$a$ 的逆是 $a$，$b$ 的逆是 $b$。
* 检验 $\mathscr{G}_1$ (结合律):
取 (ab)*a： $(a*b)*a = a*a = e$。
取 a(b*a)： $a*(b*a) = a*b = a$。
* 因为 $e \neq a$，所以结合律不成立。这是一个符合要求的例子。
* 26. 左消去律证明的梗概:
假设 $a*b=a*c$，在等式两边同时从左边乘以 $a$ 的逆元，然后利用结合律将 $a$ 的逆元与 $a$ 结合得到单位元，最后利用单位元的性质即可得到 $b=c$。
* 27. 线性方程 $ax=b$ 有唯一解的证明梗概:
首先，通过构造解 $x=a' * b$ 并代入原方程验证，证明了解的存在性。然后，通过假设存在两个解 $x_1, x_2$，导出 $a*x_1 = a*x_2$，再利用左消去律证明 $x_1=x_2$，从而保证了解的唯一性。
* 28. 同构保持单位元和逆元
* 证明 $\phi(e) = e'$:
设 $\phi: G \to G'$ 是同构。我们需要证明 $\phi(e)$ 是 $G'$ 的单位元。取任意 $y \in G'$，因为 $\phi$ 是满射，存在 $x \in G$ 使得 $\phi(x)=y$。
$\phi(e) *' y = \phi(e) *' \phi(x) = \phi(e*x) = \phi(x) = y$。
$y *' \phi(e) = \phi(x) *' \phi(e) = \phi(x*e) = \phi(x) = y$。
所以 $\phi(e)$ 表现得和 $G'$ 的单位元 $e'$ 完全一样。根据单位元的唯一性，必有 $\phi(e)=e'$。
* 证明 $\phi(a') = (\phi(a))'$:
我们需要证明 $\phi(a')$ 是 $\phi(a)$ 的逆元。我们只需验证它们的乘积是否为 $G'$ 的单位元 $e'$。
$\phi(a) *' \phi(a') = \phi(a*a') = \phi(e)$。
根据上一个证明，我们知道 $\phi(e)=e'$。
所以 $\phi(a) *' \phi(a') = e'$。同理可证 $\phi(a') *' \phi(a) = e'$。
因此，$\phi(a')$ 就是 $\phi(a)$ 的逆元。
* 30. 在 $\mathbb{R}^*$ 上定义 $a*b = |a|b$
* a. 结合律:
$(a*b)*c = (|a|b)*c = ||a|b|c = |a||b|c$。
$a*(b*c) = a*(|b|c) = |a|(|b|c) = |a||b|c$。
结合律成立。
* b. 左单位元和右逆元:
左单位元: 求 $e$ 使得 $e*a=a$ 对所有 $a$ 成立。$|e|a=a \implies |e|=1$。所以 $e=1$ 或 $e=-1$ 都可以是左单位元。
右逆元: 对每个 $a$，求 $a'$ 使得 $a*a'=e$。如果我们选择左单位元 $e=1$，则 $|a|a'=1 \implies a' = 1/|a|$。这个逆元对所有 $a \in \mathbb{R}^*$ 都存在。
* c. 是不是群?: 不是。一个群必须有一个（唯一的）双边单位元。我们来检验 $e=1$ 是否是右单位元：$a*1 = |a|\cdot1 = |a|$。这不等于 $a$（当 $a$ 为负时）。所以 $e=1$ 不是右单位元。同理 $e=-1$ 也不是右单位元。因此该结构没有双边单位元。
* d. 意义: 这个例子表明，仅仅满足结合律、存在左单位元、每个元素都有（相对于某个左单位元的）右逆元，这样的“混合”条件不足以构成一个群。它强调了群公理中左右性质一致性的重要。
* 31. 群中只有一个幂等元
幂等元定义: $x*x=x$。
在群中，我们知道存在单位元 $e$ 满足 $x*e=x$。
将两个等式放在一起，我们得到 $x*x = x*e$。
根据右消去律（定理4.15），我们可以消去等式右侧的 $x$。
得到 $x=e$。
这证明了，如果群中存在一个幂等元，那它必定是单位元 $e$。因此，群中只有一个幂等元。
* 33. 阿贝尔群中的 $(a*b)^n = a^n * b^n$
使用数学归纳法证明。
* 基础步骤: 当 $n=1$ 时，$(a*b)^1 = a*b$，$a^1*b^1 = a*b$。成立。
* 归纳假设: 假设对于 $n=k$ 成立，即 $(a*b)^k = a^k * b^k$。
* 归纳步骤: 证明对于 $n=k+1$ 也成立。
$(a*b)^{k+1} = (a*b)^k * (a*b)$ (根据定义)
$= (a^k * b^k) * (a*b)$ (根据归纳假设)
$= a^k * (b^k * a) * b$ (根据结合律)
$= a^k * (a * b^k) * b$ (关键步骤：因为群是阿贝尔群，所以 $b^k*a = a*b^k$)
$= (a^k * a) * (b^k * b)$ (根据结合律)
$= a^{k+1} * b^{k+1}$ (根据定义)
* 结论得证。注意: 如果没有阿贝尔群的条件，这个证明在关键步骤会失败。
* 34. 有限群中任意元素的有限阶
设 $G$ 是一个有限群，其元素个数为 $m$。取任意 $a \in G$。
考虑以下 $m+1$ 个元素：$a^0=e, a^1=a, a^2, a^3, \ldots, a^m$。
因为群 $G$ 只有 $m$ 个元素，而我们这里有 $m+1$ 个元素，根据鸽巢原理，其中必定至少有两个是相等的。
所以，存在两个不同的指数 $i, j$（不妨设 $j > i$，$0 \le i < j \le m$）使得 $a^j = a^i$。
在等式 $a^j = a^i$ 两边右乘 $i$ 次 $a$ 的逆元 $(a')^i$。
$a^j * (a')^i = a^i * (a')^i$
$a^{j-i} = a^{i-i} = a^0 = e$。
令 $n = j-i$。因为 $j>i$，所以 $n$ 是一个正整数 ($n \in \mathbb{Z}^+$)。
我们找到了一个正整数 $n$ 使得 $a^n=e$。
* 35. 若 $(a*b)^2=a^2*b^2$，则群是阿贝尔群
$(a*b)^2 = (a*b)*(a*b) = a*b*a*b$。
$a^2*b^2 = a*a*b*b$。
所以我们有 $a*b*a*b = a*a*b*b$。
两边同时左乘 $a'$ (a的逆元):
$a'*(a*b*a*b) = a'*(a*a*b*b)$
$e*b*a*b = e*a*b*b$
$b*a*b = a*b*b$。
两边再同时右乘 $b'$ (b的逆元):
$(b*a*b)*b' = (a*b*b)*b'$
$b*a*e = a*b*e$
$b*a = a*b$。
得证，该群是阿贝尔群。
* 36. $(a*b)' = a'*b'$ 当且仅当 $a*b=b*a$
这是双向证明。
* ($\Leftarrow$) 假设 $a*b=b*a$:
我们知道 $(a*b)' = b'*a'$ (反序律)。
因为群是阿贝尔群，所以 $b'*a' = a'*b'$。
因此 $(a*b)' = a'*b'$。
* ($\Rightarrow$) 假设 $(a*b)' = a'*b'$:
我们知道 $(a*b)'$ 乘以 $a*b$ 等于 $e$。
$(a'*b')*(a*b) = e$。
左乘 $a$：$a*(a'*b')*(a*b) = a*e = a$。
$(a*a')*b'*(a*b) = a \implies e*b'*(a*b) = a \implies b'*(a*b) = a$。
再左乘 $b$：$b*(b'*(a*b)) = b*a$。
$(b*b')*(a*b) = b*a \implies e*(a*b) = b*a \implies a*b = b*a$。
得证。
* 37. 若 $a*b*c=e$，则 $b*c*a=e$
从 $a*b*c=e$ 开始。
左乘 $a'$: $a'*(a*b*c) = a'*e$。
$(a'*a)*b*c = a'$
$e*b*c = a'$
$b*c = a'$。
现在，我们想证明 $b*c*a=e$。将我们刚得到的 $b*c=a'$ 代入左边：
$b*c*a = (a')*a = e$。
得证。
* 38. 证明左公理定义了一个群
这是一个更长的证明，核心是证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元。
1. 已知: 结合律, 左单位元 $e$ ($ex=x$), 对每个 $a$ 有左逆元 $a'$ ($a'a=e$)。
2. 证明 $a'$ 也是 $a$ 的右逆元 ($aa'=e$):
* 首先证明左消去律：如果 $ab=ac$，左乘 $a'$ 可得 $b=c$。（这和标准证明一样）
* 考虑 $a'$ 的左逆元 $(a')'$。所以 $(a')'a' = e$。
* 考虑表达式 $(a'a)a'$。一方面，$(a'a)a' = e a' = a'$。
* 另一方面，$(a'a)a' = a'(aa')$。
* 所以 $a' = a'(aa')$。
* 左乘 $(a')'$: $(a')'a' = (a')'(a'(aa')) = ((a')'a') (aa') = e(aa') = aa'$。
* 因为 $(a')'a' = e$，所以我们得到 $e = aa'$。
* 证明 $e$ 也是右单位元 ($xe=x$):
* 对任意 $x$，有 $xe = x(x'x) = (xx')x$。
* 我们刚证明了 $x x' = e$。
* 所以 $xe = ex = x$。
* 所有双边公理都已导出，所以它是一个群。
* 40. 证明 $\langle G, *\rangle$ (其中 $a*b = b \cdot a$) 是群且与 $\langle G, \cdot\rangle$ 同构
设 $\langle G, \cdot \rangle$ 是一个群。
* 证明 $\langle G, *\rangle$ 是群:
* 封闭性: $b,a \in G \implies b \cdot a \in G \implies a*b \in G$。
* 结合律: $(a*b)*c = c \cdot (a*b) = c \cdot (b \cdot a)$。
$a*(b*c) = (b*c) \cdot a = (c \cdot b) \cdot a$。
因为 $\langle G, \cdot \rangle$ 满足结合律，所以 $c \cdot (b \cdot a) = (c \cdot b) \cdot a$。满足。
* 单位元: 设 $e$ 是 $\langle G, \cdot \rangle$ 的单位元。
$a*e = e \cdot a = a$。$e*a = a \cdot e = a$。所以 $e$ 也是 $\langle G, *\rangle$ 的单位元。
* 逆元: 设 $a'$ 是 $a$ 在 $\langle G, \cdot \rangle$ 中的逆元。
$a*a' = a' \cdot a = e$。$a'*a = a \cdot a' = e$。所以 $a'$ 也是 $\langle G, *\rangle$ 中的逆元。
* 所以 $\langle G, *\rangle$ 是一个群。
* 证明同构:
* 考虑映射 $\phi: \langle G, \cdot \rangle \to \langle G, *\rangle$ 定义为 $\phi(a) = a'$ (每个元素映射到它在原群中的逆元)。
* 一一对应: $\phi$ 是到自身的映射。如果 $\phi(a)=\phi(b)$, 则 $a'=b'$。两边再取逆元，$(a')'=(b')'$, 即 $a=b$。所以是单射。对任意 $y \in G$, 它的逆元 $y'$ 也在 $G$ 中，且 $\phi(y')=(y')'=y$，所以是满射。
* 保持运算: 我们需要证明 $\phi(a \cdot b) = \phi(a) * \phi(b)$。
左边: $\phi(a \cdot b) = (a \cdot b)' = b' \cdot a'$ (反序律)。
右边: $\phi(a) * \phi(b) = a' * b' = b' \cdot a'$ (根据 * 的定义)。
两边相等。
* 因此，$\phi$ 是一个同构。这个群被称为 $G$ 的反群 (opposite group)。
* 41. 证明 $i_g(x) = gxg'$ 是同构
映射 $i_g: G \to G$, $i_g(x) = gxg'$ (这里 $g'$ 是 $g$ 的逆元)。
* 一一对应:
* 单射: 假设 $i_g(x_1) = i_g(x_2)$。则 $gx_1g' = gx_2g'$。
左乘 $g'$: $g'(gx_1g') = g'(gx_2g')$
$ex_1g' = ex_2g' \implies x_1g' = x_2g'$。
右乘 $g$: $(x_1g')g = (x_2g')g \implies x_1e=x_2e \implies x_1=x_2$。
* 满射: 对任意 $y \in G$，我们能找到一个 $x$ 使得 $i_g(x)=y$ 吗？
解方程 $gxg'=y$。左乘 $g'$, 右乘 $g$。
$g'(gxg')g = g'yg \implies ex_e = g'yg \implies x=g'yg$。
这个 $x$ 就在 $G$ 中。所以是满射。
* 保持运算: 我们需要证明 $i_g(x*y) = i_g(x) * i_g(y)$。
左边: $i_g(x*y) = g(x*y)g'$。
右边: $i_g(x) * i_g(y) = (gxg') * (gyg') = gx(g'g)yg' = gxeyg' = g(x*y)g'$。
两边相等。
* 结论: $i_g$ 是一个从 $G$ 到自身的同构，这种同构被称为内自同构 (inner automorphism)。